Fisica Matematica
I membri del gruppo sono: Dario Camiola, Paolo Falsaperla, Andrea Giacobbe, Orazio Muscato, Giovanni Nastasi, Vittorio Romano, Rita Tracinà, Massimo Trovato. Tutti i ricercatori si occupano in generale di modelli matematici nelle scienze applicate. Alcune problematiche studiate sono le seguenti:
Modelli matematici per il trasporto di cariche in strutture a bassa dimensionalità: Si affrontano rilevanti questioni modellistiche e computazionali relative al trasporto di cariche in dispositivi elettronici aventi dimensioni caratteristiche nanometriche, quali MOSFET, double-gate e nanofili. L'approccio più usato per simulare tali dispositivi è di introdurre una struttura di sottobande ottenuta risolvendo un sistema Schroedinger-Poisson, sotto opportune assunzioni sulla funzione d'onda, accoppiato con un sistema di equazioni di Boltzmann semiclassiche nella direzioni non quantizzate. Da tale sistema è possibile ricavare modelli idrodinamici physics-based utilizzando il Principio di Massima Entropia, che tengano anche conto del riscaldamento del dispositivo, includendo il trasporto dei fononi. L’equazione di Boltzmann però non è più valida se nella struttura sono presenti dei potenziali altamente variabili che possono indurre fenomeni di tunneling. In tal caso bisogna usare altri modelli tra cui l’equazione di trasporto di Wigner, che è la naturale generalizzazione al caso quantistico dell’equazione di Boltzmann. La soluzione numerica dell’equazione di Wigner, fortemente non-locale, però presenta notevoli difficoltà. Simulazioni Monte Carlo basate su schemi “signed –particle” sono state recentemente introdotte e appaiono molto promettenti dal punto di vista del calcolo e dell’accuratezza.
Una seconda tematica che viene affrontata è il trasporto di cariche nel grafene, un materiale innovativo, promettente anche per dispositivi elettronici di nuova generazione. Mentre vi sono in commercio efficienti solutori, che utilizzano modelli matematici a diverso grado di complessità, per la simulazione dei dispositivi a semiconduttore costruiti con i materiali tradizionalmente impiegati nell'industria elettronica, quali il silicio o il GaAs, lo stesso non è ancora a disposizione per il grafene. Si sta, quindi, contribuendo ad ovviare a tale carenza con la formulazione di appropriati modelli matematici di trasporto di tipo mesoscopico e macroscopico – drift-diffusion, energy-transport ed idrodinamici- a partire a livello cinetico dalle equazioni di Boltzmann applicando il metodo dei momenti e ottenendo le necessarie relazioni di chiusura tramite il metodo della massima entropia. Si studiano, nel contempo, appropriati schemi numerici per tali modelli che saranno validati tramite confronti con le simulazioni Monte Carlo e con la simulazione diretta dell'equazione di Boltzmann mediante schemi alle differenze finite di tipo WENO e con elementi finiti discontinui di tipo di Galerkin. (Dario Camiola, Orazio Muscato, Giovanni Nastasi, Vittorio Romano).
Il gruppo è stato recentemente finanziato a livello nazionale nell’ambito di un progetto Prin assieme alle Università di Palermo, Salerno e Firenze e del Politecnico di Milano, in un progetto per ideare circuiti integrati sempre più mini per salvaguardare l’ambiente. Si veda l'articolo
Costruzione di modelli cinetici ed idrodinamici in Termodinamica Estesa per la descrizione dei fenomeni di trasporto in gas-dinamica ed in fisica dello stato solido. Problemi di stabilità-instabilità in fluidodinamica: Uno degli obiettivi che si è voluto raggiungere con la presente attività di ricerca è quello di fornire un "framework" avanzato teorico sull'applicazione del Principio di Massima Entropia e della moderna Termodinamica Estesa (ET), per sistemi fisici classici e quantistici di ampio interesse per la comunità scientifica. In questo quadro, sono stati studiati sistemi classici (teorie locali), sia in gasdinamica che in fisica dello stato solido, soddisfacenti la statistica di Boltzman, le statistiche di Bose e di Fermi e più in generale le statistiche “Frazionarie di esclusione”. In particolare, sono stati costruiti modelli idrodinamici (HD) iperbolici, chiusi ed auto-consistenti, utilizzando la ET con lo scopo di studiare i processi balistici e/o dissipativi degli "hot-carriers", determinando le Funzioni di Risposta, le Funzioni di Correlazione, le Mobilità Differenziali associate al trasporto di carica nei semiconduttori e nei materiali 2D di ultima generazione quali il grafene (https://doi.org/10.1393/ncr/i2012-10075-8 ; https://doi.org/10.1063/1.5088809 ).
Una seconda classe di problemi, che è stata affrontata nel contesto della presente attività di ricerca, è infatti un moderno punto di riferimento tematico per lo sviluppo di modelli innovativi, sia nel quadro della teoria cinetica quantistica (formulazione Wigneriana della meccanica quantistica statistica) che nel quadro di una teoria non localedei sistemi idrodinamici quantistici (formulazione quantistica della ET). Negli ultimi anni, utilizzando il formalismo della matrice a densità ridotta, è stata proposta una formulazione non locale del principio quantistico di massima entropia (QMEP) per la determinazione di modelli idrodinamici chiusi per un sistema di particelle identiche soggette a differenti statistiche quantistiche (Fermi, Bose e statistiche frazionarie) e per diversi livelli di degenerazione (https://doi.org/10.1103/PhysRevE.84.061147 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.110.020404 ).
Anche in questo caso, oltre a fornire un avanzato "quadro" teorico sulla QMEP, l'obiettivo è l'applicazione di queste nuove teorie allo studio: del trasporto degli hot-carriers in dispositivi elettronici su scala nanometrica; delle eccitazioni elementari obbedienti le statistiche frazionarie, di materiali avanzati di nuova generazione (grafene), con il rilevante vantaggio di uno sforzo computazionale ridotto rispetto ai consueti metodi di simulazione cinetica. Infine, utilizzando una teoria di campo medio non locale (in seconda quantizzazione), si sta cercando di utilizzare la procedura QMEP per includere non solo i diversi tipi di statistiche ma anche le variabili di spin, al fine di formulare una teoria sistematica anche per i sistemi spintronici.
Nell’ambito di problemi di stabilità-instabilità: (i) Si ´e cercato un metodo operativo per la costruzione di funzioni di Lyapunov ottimali utilizzando un metodo di riduzione canonica. Si è applicato questo metodo a sistemi di equazioni differenziali ordinarie, a sistemi di equazioni di reazione-diffusione ed a sistemi di equazioni in fluidodinamica. (ii) Uno studio della stabilità lineare degli stati stazionari raggiunti dagli hot carriers è stato fatto, per vari materiali, utilizzando l’analisi di piccolo segnale. (M. Trovato, P. Falsaperla)
Epidemiologia matematica: si studia l’asintotica delle soluzioni di ODE e PDE in cui la cinetica delle equazioni è costruita basandosi sul modo in cui si propagano malattie o comportamenti degeneri delle popolazioni in considerazione. Alcune applicazioni vengono fatte anche a fenomeni sociali come abuso di alcool o di droghe. (Paolo Falsaperla, Andrea Giacobbe)
