Numerical Methods for Scientific Computing

Risultati di apprendimento attesi

l corso rappresenta una breve introduzione ai metodi numerici per la soluzione di sistemi lineari, interpolazione e approssimazione di funzioni, soluzione di equazioni non lineari e calcolo di integrali. Gli aspetti implementativi dei metodi saranno illustrati durante il corso attraverso il software Matlab.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): L'obbiettivo del corso è focalizzato ad  una comprensione attiva e critica della disciplina, non limitata al mero apprendimento delle metodologie, ma anche e soprattutto ad una profonda comprensione delle idee di base.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): gli strumenti computazionali appresi dovranno essere padroneggiati ed applicati a problemi concreti.

Autonomia di giudizio (making judgments): gli studenti devono essere in grado di confrontare i diversi metodi appresi durante il corso, e capire quale sia il più indicato per svolgere un particolare problema, tenendo presente sia le caratteristiche del problema stesso  sia le risorse disponibili (problema della efficienza computazionale)

Abilità comunicative (communication skills): i ragazzi sono invitati ad esporre con chiarezza gli argomenti trattati durante il colloquio orale, e ad illustrare esplicitamente i vari passaggi nella soluzione dei problemi.

Capacità di apprendimento (learning skills): l'apprendimento viene stimolato già durante le lezioni frontali mediante domande dirette da parte del docente.

 

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Le lezioni si svolgeranno in presenza, con modalità frontale. È prevista l’esposizione dei contenuti teorici da parte del docente, con il supporto di slide e lavagna. La partecipazione attiva degli studenti sarà incoraggiata attraverso domande e momenti di discussione in aula.

 

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof.ssa Patrizia Daniele 

Prerequisiti richiesti

Viene richiesta una conoscenza dei concetti elementari di analisi (numeri reali e complessi, limiti, derivate e integrali di funzioni di una variabile, funzioni di più variabili, serie) e di algebra lineare (spazi vettoriali, algebra delle matrici).

La frequenza ai corsi non è obbligatoria ma è fortemente consigliata. 

Contenuti del corso

Introduzione all'uso del linguaggio Matlab. Rappresentazione in virgola mobile. I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento. Operazioni di macchina. Cancellazione numerica. Ordine di accuratezza.

Algebra lineare numerica. Metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari. Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari. Metodi di Richardson stazionari e non stazionari. Localizzazione degli autovalori: i teoremi di Gershgorin-Hadamard. Calcolo degli autovalori: il metodo delle potenze, ed il metodo delle potenze inverse. Generalizzazione del metodo delle potenze. Metodi QR ed SVD.

Approssimazione di funzioni e dati: Interpolazione polinomiale. Metodo dei minimi quadrati e applicazioni. Equazioni normali e loro interpretazione geometrica. Problemi di regressione lineare (curve fitting)

Ottimizzazione numerica: Ottimizzazione non vincolata, metodi discendenti, metodi discendenti del gradiente e gradiente coniugato, metodo di ADAM. Ottimizzazione vincolata.

Soluzione di equazioni non lineari.  Metodi di bisezione, delle secanti e di Newton. Teoria generale dei metodi iterativi per equazioni non lineari e problemi di punto fisso. Ordine di convergenza. Criteri d'arresto.

Formule di quadratura.  Forma generale di una formula di quadratura. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie. Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di Romberg. Quadratura adattiva (cenni). Metodi Monte Carlo per calcolo di integrali.

Metodi numerici per Equazioni differenziali ordinarie. Cenni di metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie. Metodi Runge-Kutta e metodi multistep.

Introduzione al Machine Learning per modelli scientifici: Reti neurali feed-forward, concetto di rete informata dalla fisica (PINN- Physics-Informed Neural Networks), Codifica di vincoli fisici come termini di perdita (loss), PINN per ODE e PDE: formulazione e implementazione.

Contributo dell’insegnamento agli obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile

In linea con gli obiettivi specificati alla pagina https://asvis.it/goal-e-target-obiettivi-e-traguardi-per-il-2030/ 

si intende contribuire al Goal 4 obiettivo 4.4 mediante lezione frontale.

G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.

V.Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill, Milano, 1990.G. 

Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino, 1985. 

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer Italia, Milano, 1998.

Neural Networks and Numerical Analysis, Bruno Després (Author) Part of: De Gruyter Series in Applied and Numerical Mathematics.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame finale consiste in un progetto presentato dallo studente, in cui vengono approfonditi alcuni argomenti del corso con un’applicazione significativa a problemi di natura informatica.  La prenotazione per un appello d’esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

 

Criteri per l’attribuzione del voto: si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso.

 

Tali prove potranno avere luogo per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. La prova orale potrà svolgersi il giorno stesso in cui è stata svolta la prova scritta o a distanza di pochi giorni da esso.

 

La prova d’esame è finalizzata a valutare in modo approfondito la preparazione dello studente, la capacità di analisi e di ragionamento sugli argomenti trattati durante il corso, nonché l’adeguatezza del linguaggio tecnico utilizzato.

 

Per l'attribuzione del voto  si seguiranno di norma i seguenti criteri:

Non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27:  lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

 

 Gli studenti con disabilità e/o DSA dovranno contattare con sufficiente anticipo rispetto alla data dell'esame il docente, il referente CInAP del DMI (prof.ssa Daniele) e il CInAP per comunicare che intendono sostenere l'esame fruendo delle opportune misure compensative.

 

L'esame consiste nella presentazione e discussione di un progetto relativo a un argomento del corso. Le domande d'esame saranno quindi incentrate sui contenuti del progetto presentato.

Esempio di progetto:  

1) Analisi numerica della regressione lineare: studio comparativo di forma chiusa e metodo iterativo

2) Confronto di Metodi Iterativi e Applicazione ad un Modello di Machine-Learning per il Learning dei Parametri