ISTITUZIONI DI ALGEBRA SUPERIORE

Obiettivi formativi

• MODULO 1

  Approfondire la teoria degli anelli commutativi con unità, con particolare attenzione all'anello dei polinomi ed ai suoi quozienti, avendo in vista le applicazioni dell'algebra commutativa alla geometria algebrica e alla teoria dei numeri.

  Il corso si prefigge anche lo scopo affinare la capacità di astrazione e, d’altra parte, mostrare come una buona conoscenza teorica permetta di sviluppare significativi strumenti applicativi.

  In particolare, il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:

  Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscenza di risultati e di metodi fondamentali della teoria delle strutture algebriche e delle sue applicazioni. Capacità di leggere, comprendere e approfondire un argomento della letteratura matematica e riproporlo in modo chiaro ed accurato. Capacità di comprendere i problemi e di estrarne gli elementi sostanziali.

  Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Capacità di costruire o risolvere esempi od esercizi e di affrontare problemi teorici nuovi, ricercando le tecniche più adatte e applicandole opportunamente.

  Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito dell’algebra e delle sue applicazioni. Essere in grado di formulare autonomamente giudizi pertinenti sull'applicabilità di modelli algebrici a situazioni teoriche e/o concrete.

  Abilità comunicative (communication skills): Capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti, nonché degli strumenti computazionali adottati.

  Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento della letteratura algebrica. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico di argomenti algebrici non precedentemente approfonditi.

• MODULO 2

  L'obiettivo del secondo modulo del corso è quello di introdurre la teoria delle basi di Groebner, allo scopo di iniziare lo studente all’algebra computazionale ed alle sue applicazioni.

  In particolare, il corso si propone di fa acquisire agli studenti le seguenti competenze:

  Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali dell'algebra computazionale; sviluppare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti; avere adeguate competenze computazionali, comprendenti anche la conoscenza di un software specifico.

  Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): dimostrare risultati algebrici e geometrici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi; costruire dimostrazioni rigorose; risolvere problemi di algebra e geometria che richiedono un pensiero originale; essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, formulati nel linguaggio naturale, e di trarre profitto da questa formulazione per chiarirli o risolverli;

  Autonomia di giudizio (making judgements): acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema algebrico; essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci.

  Abilità comunicative (communication skills): saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni, nonché le conoscenze e la ratio ad esse sottese; sapere presentare materiali e argomentazioni scientifiche, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile.

  Capacità di apprendimento (learning skills): aver sviluppato un maggior grado di autonomia nello studio.

Prerequisiti richiesti

• MODULO 1

  Conoscenza dell'algebra di base (insiemi, numeri, polinomi, anelli, gruppi), come richiesto nei requisiti del Corso di Laurea Magistrale in Matematica.

• MODULO 2

  Spazi vettoriali. Anelli di polinomi. Anelli quoziente

Frequenza lezioni

• MODULO 1

  Fortemente consigliata.

• MODULO 2

  Fortemente consigliata

Contenuti del corso

• MODULO 1

  I. Anelli e ideali. Prime proprietà degli anelli commutativi con unità. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali. Nilradicale e radicale di Jacobson. Operazioni con gli ideali; radicale di un ideale. Omomorfismi. Ideali estesi e ideali contratti.

  II. Moduli. Definizione e prime proprietà. Prodotto diretto e somma diretta: moduli liberi. Moduli finitamente generati e lemma di Nakayama. Omomorfismi tra moduli. Algebre.

  III. Anelli e moduli di frazioni. Definizione e proprietà. Localizzazione e proprietà locali. Ideali negli anelli di frazioni.

  IV. Anelli noetheriani. Varietà affini, K-algebre affini e dizionario di base algebra-geometria algebrica. Dimensione di Krull. Anelli e moduli noetheriani: definizioni e prime proprietà. Il teorema della base di Hilbert. Condizioni perché una sottoalgebra sia finitamente generata.

  V. Anelli artiniani. Anelli e moduli artiniani. Serie di composizione. Lunghezza. Un anello è artiniano se e soltanto se è noetheriano e ha dimensione zero.

  VI. Decomposizione primaria. Ideali primari; decomposizione primaria. Primi associati e loro caratterizzazione. Divisori dello zero. Unicità delle componenti isolate. Il caso noetheriano.

  VII. Teorema degli zeri di Hilbert: forma debole e forma forte.

  VIII. Dipendenza integrale. Definizioni e prime proprietà. Teorema del Going Up. Domini normali e Teorema del Going Down. Lemma di normalizzazione di Noether.

  IX. Cenni di teoria della dimensione. Catene di primi, altezza, dimensione. Teorema dell'ideale principale di Krull. Teorema dell'altezza di Krull. Dimensione degli anelli di polinomi a coefficienti in un campo. Anelli locali. Sistema di parametri. Dimensione di immersione. Anelli locali regolari (solo definizione e importanza geometrica).

• MODULO 2

  I. Teoria di base delle Basi di Groebner. Il caso lineare. Il caso ad una sola variabile. Ordinamenti monomiali. L’Algoritmo di divisione. Definizione di base di Groebner. S-polinomi e Algoritmo di Buchberger. Basi di Groebner ridotte.

  II. Applicazioni delle Basi di Groebner. Applicazioni elementari delle Basi di Groebner. Teoria della eliminazione. Mappe polinomiali. Alcune applicazioni alla Geometria Algebrica.

  III. Moduli. Basi di Groebner e Sizigie. Calcolo del modulo delle sizigie di un ideale.

Testi di riferimento

• MODULO 1

  1. M.F. Atiyah, I.G. Macdonald , Introduzione all' algebra commutativa, Feltrinelli 1981

  2. E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkauser 1985

• MODULO 2

  1) W.W. Adams, P. Loustaunau, An introduction to Groebner Bases, American Math. Soc, 1994.

Programmazione del corso

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

• MODULO 1

  Nel corso del semestre saranno assegnati esercizi e si svolgeranno esercitazioni in classe, durante le qual gli studenti saranno inivitati a cimentarsi, da soli o in collaborazione, con problemi proposti dal docente. La correzione degli esercizi assegnati per casa e le esercitazioni in classe permetteranno al docente di verificare il livello di comprensione della materia.

  Si volgeranno due prove scritte in itinere per il primo modulo.

  Al termine del corso è prevista una prova orale (su entrambi i moduli) che terrà conto degli esercizi svolti durante l'anno e delle prove in itinere. Durante tale prova sarà richiesto allo studente, per quel quel che riguarda il primo modulo, di risolvere degli esercizi inerenti al programma svolto e di illustrare qualche argomento di teoria.

• MODULO 2

  Verranno assegnati esercizi di tipo pratico da risolvere al computer tramite l'utilizzo di un software; se risolti con votazione almeno sufficiente si passerà ad un esame orale. Non si terrà conto dei risultati delle esercitazioni svolte durante il corso

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

• MODULO 1

  Gli esercizi di algebra non sono standard e dunque non è possibile descrivere delle tipologie di problemi. Saranno resi disponibili su Studium esercizi relativi ai vari argomenti del corso. La struttura di una domanda teorica è la seguente: illustrare un argomento, enunciare le definizioni ed i risultati principali inerenti a tale argomento, dimostrare uno di essi e portare esempi e controesempi.

• MODULO 2

  Teorema di caratterizzazione dell Basi di Groebner. Applicazioni delle Basi di Groebner all'Algebra e alla Geometria Algebrica. Calcolo del modulo delle sizigie di un ideale