ALGEBRA COMMUTATIVA

Approfondire la teoria degli anelli commutativi con unità, con particolare attenzione all'anello dei polinomi ed ai suoi quozienti, avendo in vista le applicazioni dell'algebra commutativa alla geometria algebrica e alla teoria dei numeri.

Il corso si prefigge anche lo scopo affinare la capacità di astrazione e, d’altra parte, mostrare come una buona conoscenza teorica permetta di sviluppare significativi strumenti applicativi.

In particolare, il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscenza di risultati e di metodi fondamentali della teoria delle strutture algebriche e delle sue applicazioni. Capacità di leggere, comprendere e approfondire un argomento della letteratura matematica e riproporlo in modo chiaro ed accurato. Capacità di comprendere i problemi e di estrarne gli elementi sostanziali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Capacità di costruire o risolvere esempi od esercizi e di affrontare problemi teorici nuovi, ricercando le tecniche più adatte e applicandole opportunamente.

Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito dell’algebra e delle sue applicazioni. Essere in grado di formulare autonomamente giudizi pertinenti sull'applicabilità di modelli algebrici a situazioni teoriche e/o concrete.

Abilità comunicative (communication skills): Capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti, nonché degli strumenti computazionali adottati.

Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento della letteratura algebrica. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico di argomenti algebrici non precedentemente approfonditi.

Il corso consiste di lezioni frontali, esercitazioni frontali (alla lavagna) ed esercitazioni di classe. Normalmente gli esercizi svolti dal docente si alternano allla parte teorica, anche nella stessa giornata. Per le esercitazioni di classe, il docente propone alcuni esercizi agli studenti che sono invitati a risolverli lavorando in piccoli gruppi; il docente passa tra i banchi aiutando e suggerendo il modo di affrontare gli esercizi. Tali esercitazioni sono fondamentali per acquisire capacità di lavoro autonomo e in gruppo.

Conoscenza dell'algebra di base (insiemi, numeri, polinomi, anelli, gruppi), come richiesto nei requisiti del Corso di Laurea Magistrale in Matematica.

Fortemente consigliata. La frequenza alle lezione ed alle esercitazioni consente allo studente di integrare la teoria esposta sui testi di riferimento e di imparare a impostare correttamente in modo autonomo gli esercizi.

I. Anelli e ideali. Prime proprietà degli anelli commutativi con unità. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali. Nilradicale e radicale di Jacobson. Operazioni con gli ideali; radicale di un ideale. Omomorfismi. Ideali estesi e ideali contratti.

II. Moduli. Definizione e prime proprietà. Prodotto diretto e somma diretta: moduli liberi. Moduli finitamente generati e lemma di Nakayama. Omomorfismi tra moduli. Algebre.

III. Anelli e moduli di frazioni. Definizione e proprietà. Localizzazione e proprietà locali. Ideali negli anelli di frazioni.

IV. Anelli noetheriani. Varietà affini, K-algebre affini e dizionario di base algebra-geometria algebrica. Dimensione di Krull. Anelli e moduli noetheriani: definizioni e prime proprietà. Il teorema della base di Hilbert. Condizioni perché una sottoalgebra sia finitamente generata.

V. Anelli artiniani. Anelli e moduli artiniani. Serie di composizione. Lunghezza. Un anello è artiniano se e soltanto se è noetheriano e ha dimensione zero.

VI. Decomposizione primaria. Ideali primari; decomposizione primaria. Primi associati e loro caratterizzazione. Divisori dello zero. Unicità delle componenti isolate. Il caso noetheriano.

VII. Teorema degli zeri di Hilbert: forma debole e forma forte.

VIII. Dipendenza integrale. Definizioni e prime proprietà. Teorema del Going Up. Domini normali e Teorema del Going Down. Lemma di normalizzazione di Noether.

IX. Cenni di teoria della dimensione. Catene di primi, altezza, dimensione. Teorema dell'ideale principale di Krull. Teorema dell'altezza di Krull. Dimensione degli anelli di polinomi a coefficienti in un campo. Anelli locali. Sistema di parametri. Dimensione di immersione. Anelli locali regolari (solo definizione e importanza geometrica).

1. M.F. Atiyah, I.G. Macdonald , Introduzione all' algebra commutativa, Feltrinelli 1981

2. E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkauser 1985

Nel corso del semestre saranno assegnati esercizi e si svolgeranno esercitazioni in classe, durante le qual gli studenti saranno inivitati a cimentarsi, da soli o in collaborazione, con problemi proposti dal docente. La correzione degli esercizi assegnati per casa e le esercitazioni in classe permetteranno al docente di verificare il livello di comprensione della materia.

Si volgeranno due prove scritte in itinere per il modulo di Algebra Commutativa.

Al termine del corso (o del modulo) è prevista una prova orale che terrà conto degli esercizi svolti durante l'anno e delle prove in itinere. Durante tale prova sarà richiesto allo studente, per quel quel che riguarda il modulo di Algebra Commutativa, di risolvere degli esercizi inerenti al programma svolto e di illustrare qualche argomento di teoria.

Gli esercizi di algebra non sono standard e dunque non è possibile descrivere delle tipologie di problemi. Saranno resi disponibili su Studium esercizi relativi ai vari argomenti del corso. La struttura di una domanda teorica è la seguente: illustrare un argomento, enunciare le definizioni ed i risultati principali inerenti a tale argomento, dimostrare uno di essi e portare esempi e controesempi.