METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

L'obiettivo del primo modulo è quello di introdurre lo studente alle problematiche computazionali legate alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e di fornirgli gli strumenti necessari per la
loro risoluzione numerica. In particolare gli studenti vengono esposti alle fondamentali nozioni di consistenza, stabilità e convergenza dei vari metodi numerici presentati durante il corso, nonché a questioni pratiche che riguardano la loro accuratezza ed efficienza. Particolare enfasi viene data allo sviluppo di codici di calcolo utilizzando il linguaggio Matlab.

Il corso di Analisi Numerica si svolgerà principalmente attraverso lezioni frontali. La trattazione teorica dei vari argomenti sarà accompagnata da esercitazioni con il calcolatore in cui verranno affrontati problemi di tipo applicativo in modo da consolidare l'apprendimento dei vari argomenti sviluppati in aula. L’implementazione dei vari metodi numerici presentati durante il corso avverrà attraverso l'uso del linguaggio Matlab.

Si assume la conoscenza di nozioni di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale, nozioni di programmazione e conoscenza del linguaggio MATLAB, nozioni di calcolo numerico.

Modulo 1: CFU 6; Ore: 48 (didattica frontale ed esercitazioni);

La frequenza delle lezioni, per quanto non obbligatoria per il superamento dell'esame, è tuttavia fortemente consigliata.

Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali ordinarie, EDOs, (esistenza,unicità e dipendenza continua dai dati).

Metodi numerici per l'approssimazione di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero (esplicito ed implicito), metodo di Eulero Modificato, metodo di Heun; metodi a un passo; esempi: metodi basati su sviluppo in serie di Taylor, metodi Runge-Kutta (RK). Convergenza e condizioni sull'ordine. Errore di discretizzazione; ordine di un metodo a un passo; convergenza; teorema di consistenza; metodi Runge-Kutta in generale; formalismo di Butcher; condizioni sull'ordine; metodi impliciti; esistenza della soluzione numerica per metodi Runge-Kutta impliciti. Metodi di collocazione, aspetti implementativi: controllo del passo.

Metodi Multistep, metodi di Adams e BDF, metodi LMM, metodi predictor-corrector, 0-stabilita' e convergenza dei metodi multistep. Stabilità. Problemi dissipativi e stabilità; problemi stiff; A- stabilità; definizioni più generali di stabilità.

Equazioni differenziali algebriche (EDAs). Forme speciali di EDAs. Metodi numerici per la risoluzione di EDAs. Metodi Runge Kutta partizionati ed addititivi, Metodi Runge Kutta espliciti-impliciti e problemi di singola perturbazione.

Problemi ai limiti. Problemi ai limiti teoria ed applicazioni, metodo shooting e multiplo, metodo alle differenze finite.

Durante il corso verranno presentati alcuni Toolbox presenti nel software Matlab per la risoluzione di EDOs.

1) G. Naldi, L. Pareschi, G. Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.
Testo semplice ed intuitivo. Capitolo 8 è dedicato ai metodi per la risoluzione di ODE.

2) A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Matematica Numerica, Springer Italia, 3° Edizione.
Testo molto ampio e ricco di esempi. Contiene molto materiale e riporta esempi didattici implementati in matlab.

3)V. Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill, Milano, 1990.
Classico testo di Analilsi Numerica, molto vasto. Contiene molto materiale. Utile strumento di consultazione per alcuni argomenti (es. differenze finite o introduzione ai metodi variazioniali).

4) U. M. Asher e L. R. Petzol, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential_Algebraic Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, PA, USA, 1998. Testo utilizzato per la parte riguardante le equazioni differenziali-algebriche.

5) J. Stoer e R. Bulirsch, Introduction to numerical analysis. Ed. Springer Verlag.

6) Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Syvert P. Nørsett, Solving ordinary differential equations. I. Nonstiff problems. Third edition, Springer, 2008.

7) Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations. I. Stiff problems. Third edition, Springer, 2010.

E' prevista una prova in itinere. Tale prova consiste nel superamento del I modulo di: "Metodi Numerici per Equazoni Differenziali Ordinarie".

L’esame consiste di una prova orale per ciascun modulo oppure di una prova orale unica per entrambi i moduli, a scelta dello studente.

L'esame del I modulo viene verbalizzato insieme all'esame del II modulo "Metodi Numerici per l'equazioni alle derivate parziali" come un solo esame da 12 crediti.

Teorema di convergenza per il metodo di Eulero.

Discutere della stabilità dei metodi Runge-Kutta.