MEASURE AND INTEGRATION

 L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente un'approfondita trattazione dei concetti e dei principali risultati inerenti la teoria della misura e integrazione negli spazi astratti, allo scopo di arricchirne il bagaglio culturale nel campo dell'analisi matematica e di dare uno strumento utile per lo studio di questioni provenienti da altri insegnamenti (calcolo delle probabilità, fisica matematica, ecc.). Ciò verrà realizzato esaminando inizialmente la teoria della misura e integrazione nel contesto semplice degli spazi euclidei. In questo caso, si tratta di una teoria ricca, che ha una stretta relazione con fatti noti del calcolo infinitesimale e che li generalizza. 

In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità  di comprensione (knowledge and understanding)

Saranno dapprima richiamati i principali argomenti inerenti la teoria della misura e integrazione secondo Lebesgue, anche allo scopo di approfondire e unificare alcune nozioni e metodologie apprese nei precedenti corsi di analisi matematica. Verrà poi esaminata la teoria della misura e integrazione negli spazi astratti, con particolare attenzione ai vari tipi di convergenza per le successioni di funzioni misurabili, al problema del passaggio al limite sotto il segno di integrale e all’integrazione per serie, nonché all'integrazione iterata. 

Capacità  di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)

Lo studente imparerà a risolvere integrali (semplici o multipli) di Lebesgue, saprà studiare i vari tipi di convergenza per una successione (o serie) di funzioni e dire quando è lecito il passaggio al limite sotto il segno di integrale o l’integrazione per serie, nonché affrontare facili esercizi di teoria della misura negli spazi astratti. 

Autonomia di giudizio (making judgements)

Alla fine del corso lo studente sarà in grado di individuare l'ambito astratto più idoneo per calcolare un dato integrale, individuare il tipo di convergenza di una data successione (o serie) di funzioni, studiare il problema del passaggio al limite sotto il segno di integrale o l’integrazione per serie. Saprà inoltre giudicare quali dei concetti di base dell’analisi matematica si estendono in modo naturale all’analisi reale.

Abilità comunicative (communication skills)

Durante le lezioni gli studenti saranno costantemente invitati a intervenire, esprimendo il loro punto di vista, sia su argomenti teorici che sulle applicazioni. Ciò ha lo scopo di sviluppare il loro senso critico e l’intuito, nonché di abituarli a comunicare con un linguaggio matematicamente corretto.

Capacità  di apprendimento (learning skills)

Saranno stimolate e periodicamente verificate con esercitazioni in aula e semplici questioni di teoria da sviluppare individualmente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

La verifica dell’apprendimento prevede una prova unica, durante la quale sono richiesti sia argomenti teorici che qualche semplice esercizio. La prova potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del DMI..

Richiami sulla misura secondo Lebesgue. Successioni di insiemi. Spazi misurabili. Misure, misure relative e misure generalizzate. Teorema di Jordan-Hahn. Spazi mensurali completi. Completamento di uno spazio mensurale. Assoluta continuità secondo Vitali o Caccioppoli di una funzione di insieme. Funzioni misurabili,  teorema di Lusin, approssimazione di una funzione misurabile mediante funzioni semplici. Vari tipi di convergenza per le successioni o serie di funzioni misurabili. Teoremi di Severini-Egoroff e di Weyl-Riesz. Misure di Borel. Integrazione di una funzione misurabile su uno spazio mensurale. Funzioni sommabili e loro principali proprietà. Il problema del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teoremi di Beppo Levi e di Lebesgue, lemma di Fatou. Funzioni di insieme equi-assolutamente continue, teorema di Vitali. Funzioni di potenza p-esima sommabile. Disuguaglianze di Holder e di Minkowski.  Convergenza in media di ordine p. Misura e integrazione negli spazi prodotto, teoremi di Fubini e di Tonelli.

1. C. Pucci, Istituzioni di Analisi Superiore, Unione Matematica Italiana, Bologna, 2013.
2. A. Tesei, Istituzioni di Analisi Superiore, Bollati Boringhieri, Torino, 1997.
3. R.L. Wheeden - A. Zygmund, Measure and Integral. An Introduction to Real Analysis (Second Edition), CRC Press, Boca Raton, 2015.
4. M. Muratori - F. Punzo - N. Soave, Esercizi svolti di analisi reale e funzionale, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2021.

Durante il corso verranno effettuate due prove in itinere, una a metà corso e una alla fine. Gli studenti che le superano entrambe sono dispensati dal sostenere la prova completa prevista per ogni appello. Sia per le prove in itinere che per l'esame finale, si terrà conto della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare argomenti diversi.  Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi proposti.

Per l'attribuzione del voto  si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.
18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. Per partecipare all'esame finale è necessario avere effettuato la prenotazione sul portale SmartEdu. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica.

Misure relative e teorema di Jordan-Hahn.
Misure generalizzate e loro principali proprietà.
Funzioni misurabili e integrazione negli spazi astratti.
Vari tipi di convergenza per le successioni di funzioni misurabili.
Il problema del passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Convergenza in media di ordine p. Disuguaglianze di Holder e di Minkowski.
Misure prodotto, teoremi di Fubini e di Tonelli.