ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE

Modulo MODULO 1

L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente un'approfondita trattazione dei concetti e risultati di base inerenti la teoria della misura e integrazione negli spazi astratti, allo scopo di arricchirne il bagaglio culturale nel campo dell'analisi matematica e di dare uno strumento utile per lo studio di questioni provenienti da altri insegnamenti (analisi armonica, calcolo delle probabilità, ecc.). Ciò verrà realizzato esaminando inizialmente la teoria della misura e integrazione nel contesto semplice degli spazi euclidei. Si tratta di un capitolo ricco, che ha una stretta relazione con fatti noti del calcolo integrale e che li generalizza.. 

In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità  di comprensione (knowledge and understanding): saranno dapprima studiati  i principali argomenti inerenti la teoria della misura e integrazione secondo Lebesgue, anche allo scopo di approfondire e unificare alcune nozioni e metodologie apprese nei precedenti corsi di analisi matematica. Verrà poi esaminata la teoria della misura e integrazione negli spazi astratti, con particolare attenzione ai vari tipi di convergenza per le successioni di funzioni misurabili, al problema del passaggio al limite sotto il segno di integrale e all'integrazione iterata. 

Capacità  di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente imparerà a risolvere integrali (semplici o multipli) di Lebesgue, saprà studiare i vari tipi di convergenza per una successione (o serie) di funzioni e dire quando è lecito il passaggio al limite sotto il segno di integrale, nonché affrontare facili esercizi di teoria della misura negli spazi astratti. 

Autonomia di giudizio (making judgements): alla fine del corso lo studente sarà in grado di individuare l'ambito astratto più idoneo per calcolare un dato integrale, individuare il tipo di convergenza di una data successione (o serie) di funzioni, studiare il problema del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Saprà inoltre giudicare quali dei concetti di base dell’analisi matematica si estendono in modo naturale all’analisi reale.

Abilità comunicative (communication skills): durante le lezioni gli studenti saranno costantemente invitati a intervenire, esprimendo il loro punto di vista, sia su argomenti teorici che sulle applicazioni. Ciò ha lo scopo di sviluppare il loro senso critico e l’intuito, nonché di abituarli a comunicare con un linguaggio matematicamente corretto.

Capacità  di apprendimento (learning skills): saranno stimolate e periodicamente verificate con esercitazioni in aula e semplici questioni di teoria da sviluppare individualmente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

La verifica dell’apprendimento prevede una prova scritta e una prova orale. Entrambe potranno essere effettuate anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro dipartimento, prof.ssa Daniele, o al Presidente del CdS.

I contenuti dei corsi di Analisi matematica I e II e di Topologia.

Misura secondo Lebesgue. Funzioni misurabili. Teorema di Lusin. Integrale di Lebesgue. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Successioni di insiemi. Spazi misurabili. Misure, misure relative e misure generalizzate. Teorema di Jordan-Hahn. Spazi mensurali completi. Completamento di uno spazio mensurale. Assoluta continuità secondo Vitali o Caccioppoli di una funzione di insieme. Funzioni misurabili. Vari tipi di convergenza per le successioni (o serie) di funzioni misurabili. Teoremi di Severini-Egoroff e di Weyl-Riesz. Misure di Borel. Integrazione di una funzione misurabile su uno spazio mensurale. Funzioni sommabili. Principali proprietà. Il problema del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Funzioni di potenza p-esima sommabile. Disuguaglianza di Holder.  Convergenza in media di ordine p. Misure prodotto ed estensioni dei teoremi di Fubini e di Tonelli.

1. C. Miranda, Istituzioni di Analisi Funzionale Lineare, Unione Matematica Italiana, Bologna, 1978.
2. C. Pucci, Istituzioni di Analisi Superiore, Unione Matematica Italiana, Bologna, 2013.
3. R.L. Wheeden - A. Zygmund, Measure and Integral. An Introduction to Real Analysis (Second Edition), CRC Press, Boca Raton, 2015.
4. M. Muratori - F. Punzo - N. Soave, Esercizi svolti di analisi reale e funzionale, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2021.

Durante il corso verranno effettuate due prove scritte in itinere, una a metà corso e una alla fine. Gli studenti che le superano entrambe sono dispensati dal sostenere la prova scritta completa prevista per ogni appello. Superata la prova scritta, bisogna sostenere un colloquio orale. 

Sia per le prove in itinere che per l'esame finale, si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti.  Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Non è prevista la media tra il voto dello scritto e quello dell'orale.

Per l'attribuzione del voto  si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.
18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.
24-27:  lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone,  risolve gli esercizi con pochi errori.
28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Per partecipare all'esame finale è necessario avere effettuato la prenotazione sul portale SmartEdu. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica.