MEASURE AND INTEGRATION

Anno accademico 2024/2025 - Docente: Biagio RICCERI

Risultati di apprendimento attesi

L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente un'approfondita trattazione dei concetti e dei risultati più importanti della Teoria astratta della misura e dell'integrazione, col duplice intento di arricchirne il bagaglio culturale nel campo dell'Analisi matematica e di approntargli utili strumenti per la fruizione di altri corsi.

Nel dettaglio, declinati secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente imparerà ad operare coi i più importanti concetti e techiche tipici della Teoria astratta della misura e dell'integrazione.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente sarà guidato nella capacità di individuare da sè applicazioni dei risultati generali man mano stabiliti.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente verrà stimolato a studiare da sè alcuni risultati non sviluppati durante le lezioni.

Abilità comunicative (communication skills): lo studente imparerà ad esporre in maniera chiara, rigorosa e concisa.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà in grado di affrontare esercizi e trovare da sè dimostrazioni di risultati semplici.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

L'insegnamento si svolgerà attraverso lezioni frontali. Nel caso fosse necessario, si userà la via telematica. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza, potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus. Gli studenti con disabilità e/o DSA dovranno contattare con sufficiente anticipo rispetto alla data dell'esame il docente, il referente CInAP del DMI e il CInAP per comunicare che intendono sostenere l'esame fruendo delle opportune misure compensative (che saranno indicate dal CInAP).

Prerequisiti richiesti

I contenuti dei corsi di Analisi matematica I e II e di Topologia.

Frequenza lezioni

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.

Contenuti del corso

Successioni di insiemi. Spazi misurabili. Misure esterne, misure, misure relative e misure generalizzate. Teorema di Carathéodory. Teorema di Jordan-Hahn. Spazi mensurali completi. Completamento di uno spazio mensurale. Assoluta continuità di una funzione d'insieme secondo Vitali e secondo Caccioppoli. Funzioni misurabili. Vari tipi di convergenza di una successione di funzioni misurabili. Teorema di Severini-Egoroff. Teorema di Weyl-Riesz. Boreliani di uno spazio topologico. Misure di Borel. Integrazione di una funzione misurabile su uno spazio mensurale. Funzioni sommabili. Proprietà dell'integrale. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno d’integrale. Funzioni di potenza p-esima sommabile. Teorema di Holder-Riesz. Convergenza in media d’ordine p. Prodotto di misure. Teorema di Tonelli. Teorema di Fubini.

Testi di riferimento

1. E. Hewitt and K. Stromberg, Real and Abstract Analysis, Springer, 1965.

Il docente fornirà inoltre alcuni appunti che saranno pubblicati sulla pagina Studium del corso.

Programmazione del corso

	Argomenti	Riferimenti testi
1	Teoria della misura (24 ore)	1, appunti
2	Teoria dell'integrazione (23 ore)	1, appunti

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova orale nella quale allo studente sarà richiesto di esporre alcune definizioni e alcuni teoremi (enunciato e dimostrazione). La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. Per l'attribuzione del voto si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Il teorema di Jordan-Hanh

Completamento di uno spazio mensurale

Caratterizzazione dell'assoluta continuità di una funzione d'insieme

Teorema di Severini-Egoroff

Teorema di Weyl-Riesz

Teoremi di passaggio al limite sotto il segno d'integrale

Caratterizzazione della convergenza in media d'ordine p

Teorema di Tonelli

Teorema di Fubini

Corso di laurea magistrale in

Matematica