Il modulo di “meccanica quantistica” del corso di “Elementi di meccanica dei continui e meccanica quantistica”  ha come obiettivo principale una trattazione teorica introduttiva della meccanica quantistica utilizzando, in modo appropriato, il calcolo differenziale ed il calcolo integrale collegandosi in modo strutturale alla meccanica classica nell’ambito di una teoria non locale. Il programma del corso è suddiviso in sezioni:

“Elementi introduttivi per la nascita della Meccanica Quantistica”; “Formalizzazione teorica della meccanica quantistica”. Le due sezioni sono tra loro strettamente interconnesse e necessarie ai fini della comprensione dell’intero corso sia nell’ambito della Meccanica Quantistica che nell’ambito della Meccanica dei sistemi continui, connettendo i concetti di base della meccanica quantistica con quelli della Meccanica classica ed in particolare della meccanica Analitica (sia utilizzando il formalismo Lagrangiano che quello Hamiltoniano).

 

Con le “lezioni teoriche” del presente modulo lo studente acquisirà le “conoscenze teoriche” di base per :

i) lo studio di sistemi quantistici soggetti a forze di natura qualsiasi.
ii) La formalizzazione matematica della Meccanica Quantistica sia nella Rappresentazione di Schrodinger che nella Rappresentazione di Heisemberg.

iii) Lo studio delle leggi di conservazione in fisica e la loro connessione con le proprietà di simmetria del sistema fisico considerato.

iv) la possibilità di “trovare” e “risolvere” (anche con metodi di “approssimazione successiva”) le equazioni del moto, determinando le soluzioni evolutive per il sistema fisico considerato.

v) Cenni sullo studio di particelle identiche.

 L’obbiettivo del corso e quello di indurre lo studente a “pensare”, relazionando e collegando tra loro i vari argomenti trattati ed acquisendo nuove conoscenze e competenze.

A questo fine, in accordo con quanto previsto nel regolamento didattico del CdS in Matematica, ci si attende che alla fine del corso lo studente abbia acquisito:

-  capacità di ragionamento induttivo e deduttivo;

-  capacità di schematizzare un fenomeno naturale in termini di grandezze fisiche, di impostare un problema utilizzando opportune relazioni fra grandezze fisiche (di tipo algebrico, integrale o differenziale) e di risolverlo con metodi analitici e/o numerici;

-  capacità di comprendere semplici configurazioni sperimentali al fine di poter effettuare misure ed analizzare i dati.

Il corso consentirà di acquisire competenze utili anche per vari sbocchi tecnico-professionali , ed in particolare:

-          Per le applicazioni tecnologiche nei settori dell’industria e della formazione.

-          Per l’acquisizione ed il trattamento dei dati.

-          Per curare attività di modellizzazione, analisi e relative implicazioni informatico-fisiche.

 

Nello specifico, dovendo esprimere i “risultati di apprendimento attesi”, tramite i cosiddetti "Descrittori di Dublino", il Modulo "Didattica Frontale" del corso introduttivo alla Meccanica quantistica avrà quindi lo scopo di raggiungere le seguenti competenze trasversali:

1)      Conoscenza e capacità di comprensione:

Il Modulo "Introduttivo alla Meccanica quantistica" si prefigge lo scopo di fornire strumenti matematici (quali teoremi, procedure dimostrative ed algoritmi) che permettono di affrontare applicazioni reali: in matematica applicata, fisica, informatica e molti altri campi. Lo studente con tali strumenti dovrà avere “nuove capacità per comprendere e descrivere” gli schemi matematici nascosti dietro i processi fisici studiati durante il corso. Queste conoscenze saranno molto utili anche per la comprensione di nuovi possibili problemi teorici, che potranno essere affrontati sia negli studi successivi che nel mondo reale.

 

2)      Capacità di applicare conoscenza e comprensione:

Alla fine del Modulo "Introduttivo alla Meccanica quantistica" si dovrà acquisire la “capacità di applicare la conoscenza e la comprensione” delle nuove tecniche matematiche studiate, sia per determinare concretamente le “soluzioni delle equazioni del moto” associate ai problemi fisici studiati durante il corso, che per la risoluzione concreta di possibili nuove problematiche non trattate durante il corso.

 

3)      Autonomia di giudizio:

Il Modulo " Introduttivo alla Meccanica quantistica " del corso, basato su un metodo logico deduttivo, darà allo studente capacità autonome di giudizio per discernere metodi di dimostrazioni non corrette, inoltre lo studente, mediante un ragionamento logico, dovrà affrontare adeguate problematiche di meccanica quantistica, e più in generale di matematica applicata, cercando di risolverle con l'aiuto interattivo del docente.

 

4)      Abilità comunicative:

Nella prova finale di esame lo studente dovrà dimostrare di aver raggiunto una adeguata maturità espositiva sia delle varie tecniche matematiche apprese, che delle problematiche fisiche descritte durante il corso.

 

5)      Capacità di apprendimento:

Gli studenti potranno acquisire le competenze necessarie per intraprendere studi successivi (sia nell’ambito della laurea magistrale che nell’ambito di un possibile dottorato) con un alto grado di autonomia. Il corso oltre a proporre argomenti teorici presenta argomenti che potranno essere utili in vari campi lavorativi e sbocchi professionali.

La parte etichettata come Modulo introduttivo alla "Meccanica quantistica" dell'insegnamento di “Elementi di meccanica dei continui e meccanica quantistica” verrà espletata tramite lezioni frontali teoriche svolte dal docente in aula. In tali "lezioni teoriche frontali" il programma  vedrà suddiviso nelle sezioni riportate nel "contenuto del corso" per il Modulo "Meccanica Quantistica". In ognuna delle lezioni frontali il docente dapprima affronterà tutti gli argomenti teorici mostrando come tali argomenti possano legarsi a possibili applicazioni e problemi fisici specifici.

La parte del corso di “Elementi di meccanica dei continui e meccanica quantistica” , costituita dal Modulo "sulla Meccanica quantistica" è costituita complessivamente da 3 CFU (corrispondenti a 7 ore ciascuno) per un totale di 21 ore.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Matematica.

Bisogna conoscere:

(indispensabile) calcolo differenziale ed integrale per funzioni a più variabili.

(indispensabile) concetti fisici di base di meccanica classica, elettromagnetismo e della Meccanica Analitica.

(Importate) simbologia associata alle grandezze fisiche, dimensioni e sistemi di unità di misura.

(utile) nomenclatura e proprietà di linguaggio per la descrizione fisica elementare della Meccanica Analitica e della fisica Matematica

La frequenza al corso è fortemente consigliata (consultare il Regolamento Didattico del Corso di Studi).

Durante le lezioni potranno essere raccolte le firme di presenza.

Elementi introduttivi per la nascita della Meccanica Quantistica:

Teoria ondulatoria di De Broglie. Principio di Fermat e connessioni con il Principio di Azione Stazionaria di Maupertius. Analogie formali con la teoria ondulatoria del Campo Elettromagnetico. Comportamento particellare della radiazione elettromagnetica. Effetto fotoelettrico. Effetto Compton. Richiami di ottica, fenomeni di diffrazione ed interferenza per il Campo Elettromagnetico. Fenomeni di diffrazione ed interferenza per particelle dotate di massa. Esperimento ideale di Feynman. Funzione d’onda e la sua interpretazione in termini di ampiezza di probabilità.

 

Formalizzazione teorica della meccanica quantistica (*):

Notazione degli stati Ket e Bra in uno spazio di Hilbert. Prodotto scalare e funzione d’onda. Osservabili, Operatori e loro proprietà. Rappresentazione matriciale degli operatori. Autovalori ed autovettori. Spettro discreto e spettro continuo di un operatore. Operatori di proiezione. Commutatore ed anticommutatore tra due operatori. Funzione di un operatore. Trasformazioni unitarie ed operatori unitari. Trasformazioni unitarie infinitesime e finite. Valore medio di una osservabile. Dispersione attorno ad un valore centrale. Osservabile Posizione “r”. Trasformazioni di simmetria. Traslazioni infinitesime e generatori, traslazioni finite. Osservabile impulso “p”. Commutatore tra le componenti degli operatori posizione ed impulso, analogia con le parentesi di Poisson. Funzione d’onda nella rappresentazione delle coordinate e degli impulsi. Relazione di indeterminazione tra l’operatore posizione e l’operatore impulso e sua interpretazione fisica. Cenni sullo sviluppo di teorie non locali e delle statistiche quantistiche come conseguenze della relazione di indeterminazione “posizione-impulso”. Rotazioni finite, infinitesime e generatori. Proprietà generali dell’operatore momento angolare “J” e suoi autovalori. Momento angolare orbitale e momento angolare di spin. Rappresentazione Matriciale. Rappresentazione matriciale del momento angolare di spin, matrici di Pauli. Calcolo dei commutatori [p, f(r)], [r,f(p)], [J,f(r)], [J,f(p)]. Relazioni di indeterminazioni per le componenti dell’operatore momento angolare. Evoluzione temporale degli stati. Traslazione temporale ed operatore di evoluzione temporale. Traslazioni temporali infinitesime e finite. Operatore Hamiltoniano. Rappresentazione di Schrodinger. Rappresentazione di Heisemberg. Equazione di evoluzione temporale per gli operatori nella Rappresentazione di Heisenberg. Analogia con la Meccanica Classica. Invarianza delle ampiezze di probabilità, dei valori medi di aspettazione, delle Relazioni di Indeterminazione, nelle due rappresentazioni. Invarianza di “H” e leggi di conservazione. Equaz. di Schrodinger. Teorema di Ehrenfest e limite classico, applicazioni. Cenni sulla teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo in assenza di degenerazione ed in presenza di degenerazione. Applicazioni. Cenni su sistemi di particelle identiche e indistinguibili.

 

(*) Alcuni  argomenti di questa parte del programma verranno svolti compatibilmente con il monte ore complessivo del corso.

1) Appunti del Docente

2) S.A.Davidov "Meccanica Quantistica" , Edit. MIR 1981.

3) J. J. Sakurai "Meccanica Quantistica Moderna" Zanichelli 1990.

4) A. Messiah: "Quantum Mechanics", Vol. 1 e 2, ed. North-Holland.

5) R. P. Feynman, et al.: "The Feynman Lectures on Physics", Vol III, ed. Addison-Wesley.L.

6) L. I. Schiff, "Quantum Mechanics", McGraw-Hill Book Company 1949.

Non verrà espletata alcuna prova in itinere.

La verifica della preparazione viene effettuata soltanto mediante esami orali, che si svolgono durante i periodi previsti nei calendari accademici del Dipartimento, in date (appelli d'esame) pubblicate nel Calendario annuale delle sessioni d'esame (o Calendario degli esami).

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Nei criteri adottati per la valutazione della prova orale si valuterà:
1) la pertinenza delle risposte rispetto alle domande formulate,
2) il livello di approfondimento dei contenuti esposti,
3) la capacità di collegamento con altri temi oggetto del programma e con argomenti già acquisiti in corsi di anni precedenti, la capacità di riportare esempi,
4) la proprietà di linguaggio e la chiarezza espositiva.

Le domande, di seguito riportate per l'esame, non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi:

 

Connessione tra il Principio della minima azione ed il Principio di Fermat

Teoria ondulatoria di De Broglie.

fenomeni di diffrazione ed interferenza per il Campo Elettromagnetico.

Fenomeni di diffrazione ed interferenza per particelle dotate di massa.

Osservabili, Operatori e loro proprietà. Rappresentazione matriciale degli operatori.

Spettro discreto e spettro continuo di un operatore.

Trasformazioni unitarie ed operatori unitari.

Trasformazioni di simmetria. Traslazioni infinitesime e generatori.

Commutatore tra le componenti degli operatori posizione ed impulso, analogia con le parentesi di Poisson.

Rotazioni finite, infinitesime e generatori.

Proprietà generali dell’operatore momento angolare “J” e suoi autovalori.

Relazioni di indeterminazioni per le componenti dell’operatore momento angolare.

Rappresentazione di Schrodinger e Rappresentazione di Heisemberg.

Leggi di conservazione in Meccanica Quantistica.

Equaz. di Schrodinger.

Teorema di Ehrenfest e limite classico.

Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo

Sistemi di particelle identiche ed indistinguibili