GEOMETRIA DIFFERENZIALE
Anno accademico 2025/2026 - Docente: SANTI DOMENICO SPADARORisultati di apprendimento attesi
Gli studenti apprenderanno i fondamenti della teoria delle varietà non metrizzabili. Verranno introdotti a strumenti di tipo topologico, geometrico e insiemistico per affrontare lo studio della struttura delle varietà non metrizzabili, il che li renderà in grado di leggere articoli recenti di ricerca su tale tema.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
L' insegnamento consiste di lezioni frontali teoriche tenute dal docente ed esercitazioni in cui verranno discussi i problemi assegnati durante il corso. Gli studenti verranno invitati a partecipare attivamente presentando le loro soluzioni alla lavagna.
Prerequisiti richiesti
Si richiedono solidi fondamenti di topologia generale e una conoscenza di base dei fondamenti dell'aritmetica ordinale e cardinale. A tale scopo è sufficiente avere seguito il Modulo 1 del corso d'Istituzioni di Geometria Superiore (Set-theoretic Topology).
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Si tratta di un corso monografico su varietà topologiche e differenziabili non metrizzabili.
- Introduzione alle varietà topologiche e differenziabili.
- La Long Line e altri esempi di varietà non metrizzabili. Strutture differenziabili sulla long line.
- Invarianti cardinali di varietà topologiche.
- Spazi paracompatti, partizioni dell'unità e applicazioni. Condizioni necessarie e sufficienti per la metrizzabilità di una varietà.
- Introduzione all'Assioma di Martin (MA).
- La struttura topologica delle varietà perfettamente normali.
- Il Teorema di Mary Ellen Rudin: ogni varietà perfettamente normale è metrizzabile sotto MA+not CH.
Esempi consistenti di varietà perfettamente normali non metrizzabili. - Sottoinsiemi stazionari di \omega_1, il pressing-down lemma, il Teorema di Ulam.
- Varietà \omega-bounded, cenni sul "Bagpipe Theorem" di Nyikos. Costruzione di 2^{\omega_1} superfici \omega-bounded non omeomorfe.
Testi di riferimento
- David Gauld, "Non-metrisable Manifolds", Springer, 2014.
- Peter Nyikos, "The theory of nonmetrizable manifolds" in Handbook of Set-theoretic Topology, Kenneth Kunen and Jerry E. Vaughan, eds., North Holland, 1984.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Introduzione alle varietà topologiche e differenziabili. | |
| 2 | La Long Line e altri esempi di varietà non metrizzabili. Strutture differenziabili sulla long line. | |
| 3 | Spazi paracompatti e applicazioni. Condizioni necessarie e sufficienti per la metrizzabilità di una varietà. | |
| 4 | Introduzione all'Assioma di Martin (MA). | |
| 5 | La struttura topologica delle varietà perfettamente normali. | |
| 6 | Il Teorema di Mary Ellen Rudin: ogni varietà perfettamente normale è metrizzabile sotto MA+not CH. Un esempio consistente di una varietà perfettamente normale non metrizzabile. | |
| 7 | Sottoinsiemi stazionari di \omega_1, il pressing-down lemma, il teorema di Ulam. | |
| 8 | Varietà \omega-bounded, cenni sul "Bagpipe Theorem" di Nyikos. Costruzione di 2^{\omega_1} superfici \omega-bounded non omeomorfe. |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in un colloquio che potrà vertere su tutti gli argomenti del corso, e sonderà tanto la conoscenza dei contenuti principali del corso quanto la padronanza delle tecniche apprese.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Le domande potranno riguardare tutti i contenuti del corso.
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