TOPOLOGIA ALGEBRICA
Anno accademico 2022/2023 - Docente: Angelo BELLARisultati di apprendimento attesi
Il corso intende approfondire alcuni aspetti della Topologia Algebrica. Gli oggetti principali dello studio saranno la teoria dell'omotopia e l'omologia singolare.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Prerequisiti richiesti
Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Le basi della topologia algebrica. Teoria della omotopia.
Parte I: omotopia di funzioni e di cammini. Definizione del gruppo fondamentale. Omomorfismo indotto da una funzione continua e sue proprieta' omotopiche. Spazi contraibili e deformazioni. Il gruppo fondamentale della sfera. Spazi proiettivi reali e complessi. Semplice connessione dello spazio proiettivo complesso. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Calcolo del gruppo fondamentale del piano proiettivo reale. I teoremi di Brouwer e Borsuk-Ulam in dimensione 1 e 2. Il teorema della curva di Jordan.
Parte II: Simplessi euclidei e simplessi sferici. Triangolazioni della sfera e mappa propria dei vertici. Definizione del grado di una funzione continua tra sfere omodimensionali. Invarianza per omotopia del grado di una funzione continua. Il teorema del punto fisso di Brouwer e le sue forme equivalenti. Funzioni continue tra sfere di dimensioni diverse e applicazioni. Estensione di funzioni a valori in una sfera. Il teorema di Borsuk. Invarianti posizionali. Il teorema di separazione di Borsuk. Il teorema sull'invarianza del dominio. Verso la forma completa del teorema di separazione di Jordan. I teoremi di Eilemberg e Janaszewski. Il teorema della curva di Jordan (seconda dimostrazione).
Testi di riferimento
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.
2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.
3. W. Massey"Singular homology theory
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Richiami sulla definizione e le proprietà di base del gruppo fondamentale. | |
| 2 | Omeomorfismi locali | |
| 3 | Rivestimenti | |
| 4 | Quozienti per azioni propriamente discontinue | |
| 5 | Monodronia | |
| 6 | Il teorema di Van Kampen. | |
| 7 | Introduzione alla omologia singolare. | |
| 8 | Gruppi di omologia e morfismi associati. | |
| 9 | Omologia relativa | |
| 10 | La sequenza esatta di omologia. | |
| 11 | La proprietà di escissione | |
| 12 | Esempi di calcolo di gruppi di omologia | |
| 13 | Applicazioni |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.
La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
La nozione di rivestimento di uno spazio.
Definizione del n-esimo gruppo di omologia singolare.