ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE

Modulo MODULO 2

L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente un'approfondita trattazione dei concetti e risultati di base inerenti l'analisi reale, allo scopo di arricchirne il bagaglio culturale nel campo dell'analisi matematica e di dare uno strumento utile per lo studio di questioni provenienti da altri insegnamenti (analisi armonica, equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali, ecc.). Ciò verrà realizzato esaminando inizialmente la teoria delle funzioni reali di una variabile reale a variazione limitata e assolutamente continue. Si tratta di un capitolo ricco, che ha una stretta relazione con fatti noti del calcolo differenziale e integrale. 

 In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità  di comprensione (knowledge and understanding): saranno dapprima studiati i principali argomenti inerenti le funzioni reali di una variabile reale a variazione limitata e assolutamente continue, anche allo scopo di approfondire e unificare alcune nozioni e metodologie apprese nei precedenti corsi di analisi matematica. Dopo i necessari richiami sugli spazi di Banach e di Hilbert, verranno esaminati gli spazi L^p, con particolare attenzione al caso p=2 e al concetto di convergenza debole, nonché gli spazi di Sobolev in dimensione uno. Si studierà infine il problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria in ipotesi di Carathéodory.

Capacità  di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente imparerà ad operare con le funzioni a variazione limitata o assolutamente continue, saprà studiare la convergenza debole negli spazi L^p  e negli spazi di Sobolev in dimensione uno, nonché trattare semplici problemi ai limiti in ipotesi di Carathéodory. 

Autonomia di giudizio (making judgements): alla fine del corso lo studente sarà in grado di giudicare quali dei concetti e risultati fondamentali del calcolo differenziale o integrale si estendono in modo naturale all’analisi reale e quali invece richiedono una trattazione diversa.

Abilità comunicative (communication skills): durante le lezioni gli studenti saranno costantemente invitati a intervenire, esprimendo il loro punto di vista, sia su argomenti teorici che sulle applicazioni. Ciò ha lo scopo di sviluppare il loro senso critico e l’intuito, nonché di abituarli a comunicare con un linguaggio matematicamente corretto.

Capacità  di apprendimento (learning skills): saranno stimolate e periodicamente verificate con esercitazioni in aula e semplici questioni di teoria da sviluppare individualmente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

La verifica dell’apprendimento prevede una prova unica, con lo svolgimento di qualche semplice esercizio. Essa potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

 NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro dipartimento, prof.ssa Daniele, o al Presidente del CdS.

Lemma di copertura di Vitali. Insieme di Cantor. Funzioni reali di una variabile reale a variazione limitata e assolutamente continue. Teoremi di Jordan e di Lebesgue. Funzione di Cantor-Lebesgue. Complementi sulle funzioni continue: approssimazione mediante polinomi; teorema di Ascoli-Arzelà. Topologia debole in uno spazio di Banach. Gli spazi L^p: principali proprietà; convergenza debole; approssimazione mediante funzioni regolari. Spazi di Sobolev in dimensione uno. Funzioni di Carathéodory. Studio del problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria in ipotesi di Carathéodory.

1. C. Miranda, Istituzioni di Analisi Funzionale Lineare, Unione Matematica Italiana, Bologna, 1978.
2. C. Pucci, Istituzioni di Analisi Superiore, Unione Matematica Italiana, Bologna, 2013.
3. R.L. Wheeden - A. Zygmund, Measure and Integral. An Introduction to Real Analysis (Second Edition), CRC Press, Boca Raton, 2015.
4. M. Muratori - F. Punzo - N. Soave, Esercizi svolti di analisi reale e funzionale, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2021.

Prima del colloquio orale, verrà effettuata una semplice prova scritta. Nella valutazione, si terrà conto della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze e della capacità di collegare diversi argomenti.  Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.

Per l'attribuzione del voto  si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.
18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.
24-27:  lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone,  risolve gli esercizi con pochi errori.
28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.