ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA

Modulo MODULO II

I seguenti risultati di apprendimento attesi tengono conto degli obiettivi dell'Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile.

Al termine del corso lo studente sarà in grado di:

• Conoscenza e comprensione: acquisire una visione rigorosa dei fondamenti della meccanica quantistica, comprendendo i concetti di osservabili, stati, operatori autoaggiunti e dinamica, in linea con l’Obiettivo 4 (Istruzione di qualità) dell’Agenda 2030, che promuove competenze scientifiche e matematiche avanzate.

• Capacità di applicare conoscenza e comprensione: utilizzare il formalismo matematico per modellizzare fenomeni fisici quantistici, sviluppando competenze utili anche in contesti interdisciplinari (fisica, informatica, ingegneria). Questo aspetto contribuisce agli Obiettivi 8 (Lavoro dignitoso e crescita economica) e 9 (Industria, innovazione e infrastrutture), favorendo lo sviluppo di competenze spendibili nel settore della ricerca e delle tecnologie emergenti.

• Autonomia di giudizio: sviluppare la capacità di analisi critica e di valutazione dei modelli, promuovendo un approccio responsabile e sostenibile alla scienza. Tale atteggiamento richiama l’Obiettivo 12 (Consumo e produzione responsabili), incoraggiando pratiche di ricerca etiche e sostenibili.

• Abilità comunicative: esprimere con chiarezza, sia in forma scritta sia orale, concetti matematici complessi legati alla meccanica quantistica, rendendoli accessibili anche a un pubblico non specialistico. Questa abilità sostiene l’Obiettivo 17 (Partnership per gli obiettivi), poiché favorisce la cooperazione e la diffusione della conoscenza scientifica.

• Capacità di apprendimento: acquisire strumenti per approfondire in autonomia temi avanzati della fisica matematica e applicare il metodo scientifico in contesti nuovi, contribuendo a un apprendimento continuo lungo tutto l’arco della vita, in coerenza con l’Obiettivo 4 (Istruzione di qualità).

Compatibilmente con le disposizioni vigenti, lezioni frontali.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof. ssa Patrizia Daniele.

Conoscenza di base di analisi, algebra lineare e meccanica classica.

Il corso di Meccanica quantistica per matematici si propone di introdurre i concetti fondamentali della teoria quantistica. Nelle prime lezioni si passerà dalla meccanica classica a quella quantistica, mostrando come gli osservabili e gli stati possano essere descritti matematicamente mediante matrici hermitiane e operatori autoaggiunti. Successivamente verranno sviluppati il formalismo degli stati, il ruolo degli autovalori e degli autovettori, nonché il principio di indeterminazione.

Ampio spazio sarà dedicato alla dinamica quantistica: l’equazione di Schrödinger e le due rappresentazioni fondamentali, di Schrödinger e di Heisenberg. Saranno quindi introdotte le rappresentazioni di posizione e quantità di moto, con particolare attenzione alle autofunzioni generalizzate, e verrà discusso il limite classico della teoria, insieme agli osservabili principali come energia e momento angolare.

Una parte centrale sarà rivolta allo studio di sistemi specifici. Si analizzeranno la particella libera, l’oscillatore armonico con l’uso degli operatori di creazione e annichilazione, e la particella in tre dimensioni, approfondendo il ruolo delle rotazioni e delle rappresentazioni del gruppo SO(3). Seguiranno lo studio dell’equazione radiale e dell’atomo di idrogeno, con la spiegazione dei livelli energetici e della loro degenerazione.

La parte finale del corso introdurrà alcuni temi avanzati: la teoria dello scattering, lo spin e il principio di esclusione per particelle identiche, fino ad arrivare a un’introduzione ai sistemi a più elettroni e al metodo di Hartree–Fock, che fornisce un quadro matematico della periodicità degli elementi chimici.

• L.D. Faddeev, O.A. Yakubovskiī, "Lectures on Quantum Mechanics for Mathematics Students", American Mathematical Society
• Brian C. Hall, "Quantum Theory for Mathematicians", Springer
• Leon A. Takhtajan, "Quantum Mechanics for Mathematicians", American Mathematical Society 
• V. Moretti, "Spectral Theory and Quantum Mechanics", Springer
• D. Bohm, "Quantum Theory", Dover Publications 

Criteri di valutazione in trentesimi

Non Idoneo

·       Conoscenza e comprensione dell’argomento: significative carenze e imprecisioni

·       Capacità di analisi e sintesi: irrilevanti, frequenti generalizzazioni

·       Utilizzo di riferimenti: completamente inappropriato

18–20

·       Conoscenza e comprensione dell’argomento: molto modesto, imperfezioni evidenti

·       Capacità di analisi e sintesi: appena sufficienti

·       Utilizzo di riferimenti: appena appropriato

21–23

·       Conoscenza e comprensione dell’argomento: conoscenza poco più che sufficiente

·       Capacità di analisi e sintesi: discreta capacità di analisi e sintesi, argomenta in modo logico e coerente

·       Utilizzo di riferimenti: utilizza le referenze standard

24–26

·       Conoscenza e comprensione dell’argomento: conoscenza buona

·       Capacità di analisi e sintesi: buone capacità di analisi e sintesi, argomenti esposti coerentemente

·       Utilizzo di riferimenti: utilizza le referenze standard

27–29

·       Conoscenza e comprensione dell’argomento: conoscenza più che buona

·       Capacità di analisi e sintesi: notevoli capacità di analisi e di sintesi

·       Utilizzo di riferimenti: ha approfondito gli argomenti

30–30 e lode

·       Conoscenza e comprensione dell’argomento: conoscenza ottima

·       Capacità di analisi e sintesi: notevoli capacità di analisi e di sintesi

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·       Utilizzo di riferimenti: significativi approfondimenti

Esempi di domande

1. Spiega in che senso la meccanica quantistica può essere vista come un’estensione della meccanica classica, facendo riferimento alle parentesi di Poisson e al passaggio agli operatori.

2. Quali sono le proprietà fondamentali degli operatori autoaggiunti nello spazio di Hilbert e perché essi rappresentano osservabili fisici?

3. Deriva l’equazione di Schrödinger a partire dai postulati fondamentali della teoria e discuti le differenze tra le rappresentazioni di Schrödinger e di Heisenberg.

4. Illustra il principio di indeterminazione di Heisenberg e mostrane un’applicazione concreta.

5. Risolvi il problema dell’oscillatore armonico quantistico utilizzando gli operatori di creazione e annichilazione, e spiega il significato fisico dei livelli energetici discreti.

6. Descrivi la struttura degli autovalori dell’operatore momento angolare e discuti la rappresentazione del gruppo di rotazioni SO(3) in questo contesto.

7. Analizza l’equazione radiale per l’atomo di idrogeno e spiega il ruolo della degenerazione degli autovalori.

8. Introduci le idee di base della teoria dello scattering quantistico e spiega il significato della sezione d’urto.

9. Definisci lo spin dal punto di vista matematico e discuti le conseguenze del principio di esclusione di Pauli per particelle identiche.

10. Illustra in che modo il metodo di Hartree–Fock fornisce un modello matematico per comprendere la periodicità degli elementi chimici.