Analisi Reale

IT — L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente un'approfondita trattazione dei concetti e risultati di base inerenti all'analisi reale, allo scopo di arricchirne il bagaglio culturale nel campo dell'analisi matematica e di dare uno strumento utile per lo studio di questioni provenienti da altri insegnamenti (analisi armonica, equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali, ecc.). Ciò verrà realizzato trattando le principali proprietà non elementari degli spazi di Lebesgue, la teoria delle funzioni reali di una variabile reale a variazione limitata o assolutamente continue e gli spazi di Sobolev in dimensione uno. Si tratta di capitoli ricchi, che hanno una stretta relazione con fatti noti del calcolo differenziale e integrale. In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:

Conoscenza e comprensione

Saranno dapprima studiate le principali proprietà non elementari (separabilità, uniforme convessità, ecc.) degli spazi Lᵖ, con particolare attenzione al caso p=2 e al concetto di convergenza debole. Si passerà poi alle funzioni reali di una variabile reale a variazione limitata e assolutamente continue, trattando in dettaglio la formula di integrazione per parti e la derivazione, oltre che l'integrazione, delle funzioni composte. Si studieranno infine gli spazi di Sobolev in dimensione uno, nonché i problemi di Cauchy e di Dirichlet per un'equazione differenziale ordinaria in ipotesi di Carathéodory.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Lo studente imparerà ad operare con le funzioni a variazione limitata o assolutamente continue, saprà studiare la convergenza debole negli spazi Lᵖ e negli spazi di Sobolev in dimensione uno, nonché trattare semplici problemi ai limiti in ipotesi di Carathéodory.

Autonomia di giudizio

Alla fine del corso lo studente sarà in grado di giudicare quali dei concetti e risultati fondamentali del calcolo differenziale o integrale, nonché delle equazioni differenziali, si estendono in modo naturale all'analisi reale e quali invece richiedono una trattazione diversa.

Abilità comunicative

Durante le lezioni gli studenti saranno costantemente invitati a intervenire, esprimendo il loro punto di vista, sia su argomenti teorici che sulle applicazioni. Alla fine del corso potranno fare un seminario su un argomento concordato con il docente. Ciò ha lo scopo di sviluppare il loro senso critico e l'intuito, oltre che di abituarli a comunicare con un linguaggio matematicamente corretto.

Capacità di apprendimento

Saranno stimolate e periodicamente verificate con esercitazioni in aula e semplici questioni di teoria da sviluppare individualmente.

L'insegnamento prevede lezioni frontali (Didattica Erogativa), dedicate alla presentazione sistematica dei contenuti teorici, affiancate da esercitazioni in aula (Didattica Interattiva), dedicate alla risoluzione guidata di esercizi, alla discussione critica di casi ed esempi e a momenti di verifica formativa in itinere.

La Didattica Erogativa è prevalente nella parte iniziale del corso, dedicata all'acquisizione dei concetti e dei risultati fondamentali (spazi Lᵖ, funzioni a variazione limitata e assolutamente continue), mentre la Didattica Interattiva assume un peso crescente nella parte finale, dedicata agli spazi di Sobolev e ai problemi ai limiti, così da consolidare la capacità dello studente di applicare autonomamente le tecniche apprese e sviluppare l'autonomia di giudizio e le abilità comunicative richieste tra i risultati di apprendimento attesi. Il seminario finale concordato con il docente rappresenta inoltre un momento specifico dedicato allo sviluppo delle abilità comunicative.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto sopra dichiarato, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel presente syllabus.

Lo studente deve possedere una solida conoscenza dei contenuti di base della teoria della misura e integrazione astratta, degli spazi di Lebesgue e dei principali risultati di analisi funzionale elementare (spazi di Banach e di Hilbert, criteri di convergenza). Tali conoscenze sono generalmente impartite in un insegnamento di base riguardante la teoria della misura e integrazione e l'analisi funzionale lineare. Esse sono da considerarsi indispensabili per la piena comprensione degli argomenti trattati nel corso.

La frequenza non è obbligatoria. È tuttavia fortemente consigliata, poiché la partecipazione attiva alle lezioni e alle esercitazioni facilita in modo significativo la comprensione di argomenti spesso non elementari, e consente di sviluppare più agevolmente le capacità di analisi, di collegamento tra i vari temi del corso e di autonoma risoluzione degli esercizi richieste in sede d'esame.

Complementi sugli spazi Lᵖ: separabilità, approssimazione mediante funzioni regolari, uniforme convessità, dualità, convergenza debole, teorema di Radon-Nykodym. Funzioni reali di una variabile reale a variazione limitata, teorema di Jordan, lemma di copertura di Vitali, derivazione e teorema di Lebesgue. Funzioni reali di una variabile reale assolutamente continue, funzioni integrali e loro derivate, ricerca delle funzioni primitive, confronto fra classi di funzioni (insieme di Cantor e funzione di Cantor-Lebesgue), regola della catena, cambiamento di variabili nell'integrale, curve rettificabili. Spazi di Sobolev in dimensione uno: mollificatori, alcuni spazi funzionali, disuguaglianza di Poincaré. Funzioni di Carathéodory, problemi di Cauchy e di Dirichlet per un'equazione differenziale ordinaria in ipotesi di Carathéodory.

1.   G. Leoni, A first course in Sobolev spaces, AMS, Providence, 2017.

2.   C. Pucci, Istituzioni di Analisi Superiore, Unione Matematica Italiana, Bologna, 2013.

3.   A. Tesei, Istituzioni di Analisi Superiore, Bollati Boringhieri, Torino, 1997.

4.   R.L. Wheeden - A. Zygmund, Measure and Integral. An Introduction to Real Analysis (Second Edition), CRC Press, Boca Raton, 2015.

5.   C.D. Aliprantis - O. Burkinshaw, Problems in Real Analysis, Academic Press, San Diego, 1999. 

6. M. Muratori - F. Punzo - N. Soave, Esercizi svolti di analisi reale e funzionale, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2021.

La prova d'esame è unica. Durante il colloquio orale verrà proposto anche qualche semplice esercizio. Nella valutazione, si terrà conto della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze e della capacità di collegare diversi argomenti. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi proposti.

Criteri di attribuzione del voto (IT)

Non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata — Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento (https://www.cinap.unict.it/content/referenti).

1.   Trattare la separabilità o l'uniforme convessità degli spazi Lᵖ. Studiare la convergenza debole in Lᵖ. Enunciare e dimostrare il teorema di Radon-Nykodym.

2.   Dimostrare il teorema del ricoprimento di Vitali. Provare che una funzione a variazione limitata è quasi ovunque derivabile.

3.   Illustrare la funzione di Cantor-Lebesgue. Studiare le inclusioni fra gli spazi funzionali C⁰([a,b]), Lip([a,b]), VL([a,b]), AC([a,b]), C¹([a,b]).

4.   Definire lo spazio di Sobolev W¹,ᵖ(a,b) e dimostrarne la completezza.

5.   Provare la disuguaglianza di Poincaré in dimensione uno e illustrare un'applicazione.

6.   Dato un problema di Cauchy o di Dirichlet per un'equazione differenziale ordinaria in ipotesi di Carathéodory, discutere esistenza e unicità della soluzione.