ALGEBRA COMMUTATIVA
Anno accademico 2024/2025 - Docente: CARMELO ANTONIO FINOCCHIARORisultati di apprendimento attesi
Approfondire la teoria degli anelli commutativi con unità e fornire un background teorico adeguato in vista di studi avanzati in Algebra Commutativa e Geometria.
Il corso si prefigge anche lo scopo affinare la capacità di astrazione e, d’altra parte, mostrare come una buona conoscenza teorica permetta di sviluppare significativi strumenti applicativi.
In particolare, il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscenza di risultati e di metodi fondamentali della teoria delle strutture algebriche e delle sue applicazioni. Capacità di leggere, comprendere e approfondire un argomento della letteratura matematica e riproporlo in modo chiaro ed accurato. Capacità di comprendere i problemi e di estrarne gli elementi sostanziali.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Capacità di costruire o risolvere esempi od esercizi e di affrontare problemi teorici nuovi, ricercando le tecniche più adatte e applicandole opportunamente.
Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito dell’algebra e delle sue applicazioni. Essere in grado di formulare autonomamente giudizi pertinenti sull'applicabilità di modelli algebrici a situazioni teoriche e/o concrete.
Abilità comunicative (communication skills): Capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti, nonché degli strumenti computazionali adottati.
Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento della letteratura algebrica. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico di argomenti algebrici non precedentemente approfonditi.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Prerequisiti richiesti
Conoscenza dell'algebra di base (insiemi, numeri, polinomi, anelli, gruppi), dell'Algebra Lineare e della Topologia Generale, come richiesto nei requisiti del Corso di Laurea Magistrale in Matematica.
Frequenza lezioni
Contenuti del corso
I. Anelli e ideali. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali. Nilradicale e radicale di Jacobson. Operazioni con gli ideali; radicale di un ideale. Ideali estesi e ideali contratti. Spettro primo di un anello.
II. Moduli. Definizione e prime proprietà. Prodotto diretto e somma diretta: moduli liberi. Moduli finitamente generati e lemma di Nakayama. Moduli liberi. Algebre.
III. Anelli e moduli di frazioni. Definizione e proprietà. Localizzazione e proprietà locali. Ideali negli anelli di frazioni.
IV. Dipendenza intera. Definizioni e prime proprietà. Teoremi del Going Up e del Lying over. Domini normali e Teorema del Going Down.
V. Anelli noetheriani. Anelli e moduli noetheriani: definizioni e prime proprietà. Il teorema della base di Hilbert e sue conseguenze.
VI. Anelli artiniani. Anelli e moduli artiniani. Serie di composizione. Lunghezza. Un anello è artiniano se e soltanto se è noetheriano e ha dimensione zero.
VII. Decomposizione primaria. Ideali primari; decomposizione primaria. Primi associati e loro caratterizzazione. Divisori dello zero. Unicità delle componenti isolate.
VIII. Teorema degli zeri di Hilbert: dimostrazione di Goldman e Krull.
IX. Cenni di teoria della dimensione. Catene di primi, altezza, dimensione. Teorema dell'ideale principale di Krull. Teorema dell'altezza di Krull. Dimensione degli anelli di polinomi a coefficienti in un campo.
X. Introduzione alla teoria delle valutazioni. Valutazioni su un campo e loro anelli di valutazione. Teoremi di dominanza. Globalizzazione: domini di Dedekind e di Prufer.
XI. Introduzione agli anelli topologici. Anelli topologici e loro proprietà. Completamenti.
Testi di riferimento
2. R. Gilmer, Multiplicative ideal theory. Pure and Applied Mathematics, No. 12. Marcel Dekker, Inc., New York, 1972.
3. I. Kaplansky, Commutative rings, University of Chicago Press, Chicago, Ill.-London, 1974.
4. O. Zariski, P. Samuel, Commutative algebra. Vol. 1. Graduate Texts in Mathematics, No. 28. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.
5. O. Zariski, P. Samuel, Commutative algebra. Vol. II. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali. Nilradicale e radicale di Jacobson. | 1, 4 |
| 2 | Operazioni con gli ideali; radicale di un ideale. Ideali estesi e ideali contratti. | 1 |
| 3 | Moduli: definizione e prime proprietà. Prodotto diretto e somma diretta: moduli liberi. Moduli finitamente generati e lemma di Nakayama. Algebre. | 1, 4 |
| 4 | Anelli e moduli di frazioni: definizione e proprietà. Localizzazione e proprietà locali. Ideali negli anelli di frazioni. | 1, 3 |
| 5 | Dipendenza integrale. Teorema del Going Up e del Lying over. Domini normali e Teorema del Going Down. | 1,3 |
| 6 | Anelli e moduli noetheriani: definizioni e prime proprietà. Il teorema della base di Hilbert. | 1,4 |
| 7 | Anelli e moduli artiniani. Serie di composizione. Lunghezza. Un anello è artiniano se e soltanto se è noetheriano e ha dimensione zero. | 1,4 |
| 8 | Ideali primari; decomposizione primaria. Primi associati e loro caratterizzazione. Divisori dello zero. Unicità delle componenti isolate. | 1,4 |
| 9 | Teorema degli zeri di Hilbert | 2, 3 |
| 10 | Catene di primi, altezza, dimensione. Teorema dell'ideale principale di Krull. Teorema dell'altezza di Krull. | 2, 3 |
| 11 | Valutazioni su un campo e loro anelli di valutazione. Teoremi di dominanza. | 2, 3, 5 |
| 12 | Domini di Dedekind e domini di Prufer | 2, 3, 5 |
| 13 | Anelli topologici e loro completamenti | 5 |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Nel corso del semestre saranno assegnati esercizi per casa che saranno discussi in classe e/o a ricevimento.
Si prevede la somministrazione di due prove di valutazione in itinere per il modulo di Algebra Commutativa. I candidati che non superano le prove di valutazione in itinere dovranno sostenere la prova scritta.
Al termine del corso (o del modulo) è anche prevista una prova orale, a cui si accede previo superamento della prova scritta e/o delle prove in itinere, durante la quale ciascun candidato dovrà discutere sia temi di teoria che esercizi.
La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.