ANALISI FUNZIONALE

Lo scopo principale del corso è fornire le basi di Analisi Funzionale. Si presenteranno strutture più ampie rispetto a quelle che lo studente già conosce dagli studi precedenti,  quali gli spazi vettoriali topologici e  gli spazi localmente convessi. Sarà fatto uno studio  approfondito degli spazi di Banach e degli operatori tra spazi di Banach.  Saranno presentate le topologie deboli e classi di spazi di Banach particolarmente importanti: gli spazi riflessivi e gli spazi di Hilbert, gli spazi di Sobolev. Inoltre, si applicheranno alcuni risultati classici di Analisi Funzionale  allo studio di PDEs.

Nel dettaglio, declinati secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

 Lo studente conoscerà i concetti fondamentali e i teoremi classici dell'Analisi Funzionale e  alcune importanti classi di spazi,  quali gli spazi riflessivi,  di Hilbert e di Sobolev.  Imparerà ad operare negli spazi vettoriali topologici e con gli operatori lineari e continui tra di essi e  ad usare le topologie deboli.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

Lo studente sarà in grado  di applicare i risultati generali appresi alla risoluzione di alcuni esercizi teorici e/o  tecnici.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente verrà stimolato a studiare autonomamente alcuni risultati non sviluppati durante le lezioni e ad esporli in un seminario.

Abilità comunicative (communication skills): lo studente imparerà ad esporre i contenuti del corso in maniera chiara, puntuale e sintetica,  con rigore e spirito critico.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà in grado di riflettere sulle dimostrazioni e di padroneggiare alcune tecniche che possono essere utili per affrontare altri  problemi.

Spazi vettoriali topologici. Definizione e caratterizzazione delle topologie vettoriali. Caratterizzazione
degli spazi vettoriali topologici di Hausdorff.  Spazi vettoriali topologici localmente
convessi e loro caratterizzazione. Topologia della convergenza uniforme sui compatti dello spazio C(S)  con S aperto di  R_n. Topologia vettoriale non localmente convessa sullo spazio C([0,1]). Metrizzabilità degli spazi localmente convessi. Normabilità di uno spazio vettoriale topologico. Spazi normati. Spazi di Banach. Spazi vettoriali topologici di Hausdorff aventi dimensione finita. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato.  Funzionale di Minkowski. Teorema di Hahn-Banach e suoi corollari. Teoremi di separazione.

Operatori e funzionali lineari. Vari criteri di continuità per operatori e funzionali lineari. Lo spazio degli operatori
lineari e continui tra due spazi normati. Il teorema della Mappa aperta ed applicazioni. Il teorema del grafico chiuso. Il principio dell' uniforme limitatezza. Il teorema di Banach-Steinhaus. Aggiunto di un operatore.

Topologie deboli. La topologia debole di uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff  localmente convesso.
Coincidenza della chiusura  e della chiusura  debole di un insieme convesso.
Teorema di Mazur. Minimizzazione dei funzionali quasi convessi semicontinui inferiormente
su insiemi debolmente compatti. Confronto tra la topologia forte,
la topologia debole e la topologia debole stella nel duale topologico di uno spazio normato.
Teorema di Krein-Smulyan. Teorema di Eberlein-Smulyan. Caratterizzazione della finito-dimensionalità di uno spazio normato mediante la coincidenza della topologia forte e della topologia debole. Il teorema di Banach Alaoglu. Il teorema di Goldstine.

Spazi di Banach riflessivi. Le caratterizzazioni di Kakutani e di James degli spazi di Banach riflessivi. Caratterizzazione
degli spazi di Banach riflessivi e separabili. Metrizzabilità degli insiemi debolmente compatti
negli spazi normati separabili. Separabilità e topologie deboli. Spazi uniformementi
convessi. Teorema di Milman-Pettis.

Spazi di Hilbert. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Caratterizzazione delle
norme pre-hilbertiane. Spazi di Hilbert. Teorema della proiezione. Rappresentazione di uno spazio di Hilbert come
somma diretta di un suo sottospazio vettoriale chiuso e del complemento ortogonale di
questo. Il teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari e continui negli
spazi di Hilbert. Teorema di Stampacchia e di Lax Milgram. Insiemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di basi ortonormali per gli spazi di Hilbert separabili.

Spazi di Sobolev. Derivate deboli. Lo spazio W^{1,p}: definizione e proprietà. Caratterizzazioni delle funzioni in W^{1,p}. teoremi di immersione.Teorema di Rellich- Kondrachov. Lo spazio W^{1,p}_0. Formulazione variazionale di problemi ai limiti.