ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA

Modulo MODULO II

Il corso, di 6 CFU totali (5 di teoria, 1 di esercizi), si svolge in 47 ore di lezione frontale. In esso si mettono in relazione le tecniche della meccanica hamiltoniana con i modelli della meccanica quantistica e della meccanica dei continui.

Conoscenza e capacità di comprensione: lo studente acquisirà la conoscenza dei concetti fondamentali della meccanica hamiltoniana, della meccanica quantistica e della meccanica dei continui. In particolare, sarà in grado di comprendere il ruolo delle simmetrie e delle leggi di conservazione nella formulazione matematica dei sistemi fisici, il significato degli osservabili classici e quantistici, la struttura matematica dell'equazione di Schrödinger, nonché i principi che governano la descrizione cinematica e dinamica dei mezzi continui. Lo studente acquisirà inoltre familiarità con il linguaggio matematico impiegato nella formulazione dei modelli fisici, comprendendo le relazioni tra strutture geometriche, equazioni differenziali e principi di conservazione.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: lo studente sarà in grado di formulare e analizzare modelli matematici di sistemi fisici utilizzando gli strumenti introdotti durante il corso. Saprà utilizzare le parentesi di Poisson e le leggi di conservazione per lo studio di sistemi hamiltoniani, applicare il formalismo degli operatori e l'equazione di Schrödinger alla risoluzione di problemi elementari di meccanica quantistica, determinare autovalori e autostati di semplici osservabili ed interpretarne il significato fisico, sarà in grado di derivare e utilizzare le equazioni di bilancio, interpretare il significato fisico del tensore degli sforzi e applicare i modelli fondamentali della fluidodinamica a problemi elementari, riconoscendo le strutture matematiche comuni ai diversi contesti studiati.

Autonomia di giudizio: lo studente svilupperà la capacità di individuare gli strumenti matematici più appropriati per la descrizione di un fenomeno fisico e di valutare criticamente le ipotesi alla base dei modelli utilizzati. Sarà in grado di distinguere tra descrizioni classiche, quantistiche e continue di un sistema fisico, riconoscendone limiti di validità, assunzioni fondamentali, possibili generalizzazioni. Acquisirà inoltre la capacità di analizzare in modo autonomo semplici problemi teorici e di costruire collegamenti tra argomenti apparentemente appartenenti a settori differenti della fisica matematica.

Abilità comunicative: lo studente sarà in grado di esporre con chiarezza e rigore matematico i concetti fondamentali della meccanica hamiltoniana, della meccanica quantistica e della meccanica dei continui, utilizzando correttamente il linguaggio specialistico della disciplina. Saprà presentare dimostrazioni, argomentazioni e procedure di calcolo in forma sia orale sia scritta, motivando le scelte metodologiche adottate e discutendo i risultati ottenuti in modo coerente e preciso.

Capacità di apprendere: lo studente acquisirà gli strumenti concettuali e metodologici necessari per affrontare in autonomia lo studio di insegnamenti avanzati nei settori della fisica matematica, dell'analisi delle equazioni differenziali e della modellistica matematica. Sarà in grado di approfondire autonomamente argomenti specialistici attraverso la consultazione di testi avanzati e articoli scientifici, sviluppando la capacità di integrare conoscenze provenienti da diversi ambiti della matematica e della fisica teorica.

Lezioni frontali, a meno che non vi siano disposizioni che impongano una modalità mista o a distanza. A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli

studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata) del nostro Dipartimento, prof. ssa Patrizia Daniele.

Conoscenza di base di analisi, algebra lineare e meccanica.

La frequenza è fortemente consigliata

Parte I. Elementi di meccanica hamiltoniana

Spazi delle fasi e formulazione hamiltoniana della meccanica classica. Parentesi di Poisson e loro proprietà fondamentali. Flussi hamiltoniani e integrali primi. Simmetrie e teorema di Noether. Azioni di gruppi di Lie su varietà simplettiche e mappa momento. Momento lineare e momento angolare come quantità conservate associate a gruppi di simmetria. Riduzione simplettica.

Parte II. Fondamenti di meccanica quantistica

Dalla meccanica classica alla quantizzazione canonica. Osservabili quantistiche e relazioni di commutazione canoniche. Operatori posizione e quantità di moto. Stati quantistici, autovalori, autovettori e interpretazione spettrale delle osservabili. Operatori energia e momento angolare.

Equazione di Schrödinger dipendente e indipendente dal tempo. Evoluzione temporale dei sistemi quantistici. Rappresentazioni di Schrödinger e di Heisenberg. Simmetrie e conservazione delle osservabili.

Applicazioni ed esempi fondamentali: particella libera, oscillatore armonico unidimensionale e metodo degli operatori di creazione e annichilazione. Problema centrale in tre dimensioni. Gruppo delle rotazioni e sue rappresentazioni. Operatori di momento angolare e armoniche sferiche. Equazione radiale di Schrödinger. Atomo di idrogeno: livelli energetici, degenerazione degli autovalori e numeri quantici.

Parte III. Elementi di meccanica dei continui

Descrizione lagrangiana ed euleriana del moto. Cinematica dei continui. Deformazioni e gradiente di deformazione. Velocità, spin e vorticità. Teorema del trasporto di Reynolds e sue conseguenze.

Principi di bilancio per sistemi continui. Equazioni di conservazione della massa, della quantità di moto, del momento angolare e dell'energia in forma integrale e differenziale. Forze di volume e forze di superficie. Teorema di Cauchy e tensore degli sforzi.

Equazioni costitutive e principio di indifferenza materiale. Fluidi perfetti e fluidi newtoniani. Equazioni di Eulero e di Navier-Stokes.

Moti piani di fluidi incomprimibili e irrotazionali. Potenziale complesso e applicazioni dell'analisi complessa alla fluidodinamica piana. Dinamica dei vortici puntiformi e formulazione hamiltoniana del sistema. Relazioni tra strutture geometriche della meccanica classica e modelli della fluidodinamica.

Meccanica Hamiltoniana e strutture geometriche

1. R. Abraham, J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin/Cummings.
2. V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer.
3. J.E. Marsden, T.S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer.

Meccanica Quantistica

1. L.D. Faddeev, O.A. Yakubovskiĭ, Lectures on Quantum Mechanics for Mathematics Students, American Mathematical Society.
2. B.C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, Springer.
3. L.A. Takhtajan, Quantum Mechanics for Mathematicians, American Mathematical Society.
4. V. Moretti, Spectral Theory and Quantum Mechanics, Springer.
5. D. Bohm, Quantum Theory, Dover Publications.

Meccanica dei Continui

1. M.E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press.
2. C. Truesdell, W. Noll, The Non-Linear Field Theories of Mechanics, Springer.

È previsto un esame orale. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.        

Meccanica Hamiltoniana

• Definire le parentesi di Poisson e dimostrarne le principali proprietà.
• Illustrare il legame tra simmetrie e quantità conservate nella formulazione hamiltoniana della meccanica.
• Descrivere il concetto di mappa momento e determinarla in semplici esempi associati alle traslazioni e alle rotazioni.
• Calcolare le equazioni di Hamilton associate a un sistema meccanico assegnato.
• Discutere il significato geometrico della riduzione simplettica e illustrarne un esempio.

Meccanica Quantistica

• Introdurre il concetto di osservabile quantistica e spiegare il significato fisico di autovalori e autostati.
• Derivare le relazioni di commutazione canoniche tra operatori posizione e quantità di moto.
• Discutere le rappresentazioni di Schrödinger e di Heisenberg, evidenziandone analogie e differenze.
• Determinare gli autovalori dell'energia per l'oscillatore armonico mediante gli operatori di creazione e annichilazione.
• Risolvere il problema della particella libera e interpretarne le soluzioni.
• Definire gli operatori di momento angolare e calcolarne le relazioni di commutazione.
• Descrivere il ruolo del gruppo delle rotazioni nella meccanica quantistica.
• Determinare i livelli energetici dell'atomo di idrogeno e discuterne la degenerazione.

Meccanica dei Continui

• Illustrare la differenza tra descrizione lagrangiana ed euleriana del moto.
• Definire il gradiente di deformazione e discuterne il significato geometrico.
• Enunciare e dimostrare il teorema del trasporto di Reynolds.
• Derivare le equazioni di bilancio della massa e della quantità di moto in forma locale.
• Definire il tensore degli sforzi di Cauchy e descriverne l'interpretazione fisica.
• Discutere il principio di indifferenza materiale e il suo ruolo nella formulazione delle equazioni costitutive.
• Derivare le equazioni di Eulero per un fluido perfetto.
• Descrivere i moti incomprimibili e irrotazionali nel piano e il collegamento con le funzioni olomorfe.
• Formulare il sistema dei vortici puntiformi e illustrarne la struttura hamiltoniana.