Higher Geometry

Anno accademico 2026/2027 - Docente: SANTI DOMENICO SPADARO

Risultati di apprendimento attesi

Il corso è un'introduzione agli aspetti combinatorici della teoria degli insiemi. Gli studenti apprenderanno ad usare strumenti come il teorema di Ramsey, il Delta-system lemma e il pressing-down Lemma e principi indipendenti da ZFC, come l'Ipotesi del Continuo e l'Assioma di Martin, che oggi trovano applicazioni nelle più disparate aree della matematica, dalla topologia alla teoria della misura, dalla teoria dei gruppi alla teoria delle C*-algebre.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

L' insegnamento consiste di lezioni frontali teoriche tenute dal docente ed esercitazioni in cui verranno discussi i problemi assegnati durante il corso. Gli studenti verranno invitati a partecipare attivamente presentando le loro soluzioni alla lavagna. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto sopra dichiarato, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel presente syllabus.

Prerequisiti richiesti

Conoscenza di base del sistema di assiomi ZFC per la teoria degli insiemi, dimestichezza con gli elementi dell'aritmetica ordinale e cardinale. Basi solide di topologia generale. A tale scopo è sufficiente avere seguito (o seguire in contemporanea) il Modulo 1 del corso d'Istituzioni di Geometria Superiore (Set-theoretic Topology).

Frequenza lezioni

Fortemente consigliata.

Contenuti del corso

Il programma di massima sarà il seguente:

Teoria di Ramsey: versione finita e infinita del teorema di Ramsey. Determinazione di alcuni numeri di Ramsey. Il Teorema di Erdos-Rado. Il Teorema di Schur e un'applicazione della teoria di Ramsey in teoria dei numeri. Applicazioni in topologia generale.
L'Assioma di Martin e alcune sue conseguenze in topologia (dimostrazione della consistenza dell'Ipotesi di Suslin), teoria degli insiemi (costruzione di un ultrafiltro di Ramsey e regolarità del continuo) e teoria della misura.
Invarianti cardinali del continuo, il diagramma di Cichoń.
Insiemi club e stazionari, il pressing-down Lemma. Dimostrazione del Teorema di Silver. Il principio diamond di Jensen.
Alberi. Alberi di Aronszajin e Suslin. Dimostrazione dell'indipendenza dell'ipotesi di Suslin.

Testi di riferimento

Appunti del docente.
T. Jech, "Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded", Springer, 2003.
K. Kunen, "Set Theory: An Introduction to Independence Proofs", North Holland, 1986.

Programmazione del corso

	Argomenti	Riferimenti testi
1	Teoria di Ramsey.
2	L'Assioma di Martin.
3	Invarianti cardinali del continuo.
4	Insiemi club e stazionari.
5	Alberi.

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in un colloquio che sonderà tanto la conoscenza dei contenuti principali del corso quanto la padronanza delle tecniche apprese. La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata – Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento (https://www.cinap.unict.it/content/referenti).

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

- Chiarisca la relazione fra separabilità e countable chain condition sia nel contesto di uno spazio topologico generale che in quello degli spazi topologici linearmente ordinati.

- Spieghi perché l'enunciato di MA(k) è vero in ZFC se k è numerabile e falso in ZFC se k è il continuo.

- Chiarisca l'impatto dell'assioma di Martin sulla countable chain condition di un prodotto a supporto finito di ordini parziali.

- Derivi la versione finita del teorema di Ramsey da quella infinita, usando il principio di compattezza.

- Fornisca un esempio di un sottoinsieme stazionario di un cardinale regolare non numerabile che non è club.

Corso di laurea magistrale in

Matematica