ANALISI SUPERIORE
Anno accademico 2017/2018 - 2° anno - Curriculum CCrediti: 9
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 152 di studio individuale, 49 di lezione frontale, 24 di esercitazione
Semestre: 2°
Obiettivi formativi
L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente un corredo di conoscenze sulle equazioni differenziali ordinarie che si snoda principalemente sulle seguenti due direttrici: soluzioni generalizzate del problema di Cauchy per equazioni differenziali del primo ordine in spazi di Banach; studio dei problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine mediante i metodi variazionali.
Sarà stimolata la capacità dello studente di applicare la conoscenza e comprensione della teoria man mano costruita a specifici problemi.
Prerequisiti richiesti
I prerequisiti richiesti si possono individuare nei contenuti dei corsi di Analisi I e II, di Istituzioni di Analisi Superiore e di Topologia generale, nonchè nelle nozioni di base di Algebra lineare.
Frequenza lezioni
La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.
Contenuti del corso
1. Teorema del ricoprimento di Vitali. Funzioni a variazione limitata e loro derivabilità. Funzioni assolutamente continue. Formula fondamentale del calcolo integrale.
2. Calcolo differenziale ed integrale per funzioni a valori in uno spazio di Banach. Integrabilità secondo Bochner.
3. Equazioni differenziali ordinarie in spazi di Banach. Funzioni di Carathéodory. Misura di non compattezza di Kuratowski.
4. Derivabilità secondo Gateaux e secondo Fréchet per funzionali su spazi di Banach.
5. Spazi di Sobolev di funzioni di una variabile reale.
6. Formulazione variazionale dei problemi di Dirichlet, di Neumann e del probelma periodico per equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Teoremi di esistenza, di unicità e di molteplicità delle soluzioni.
Testi di riferimento
1. E. Hille - R. S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society, 1957.
2. E. Hewitt - K. Stromberg, Real and abstract analysis, Springer, 1975.
3. H. Brézis, Analisi funzionale, Liguori Editore, 1995.
Programmazione del corso
| * | Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|---|
| 1 | * | Funzioni a variazione limitata (5 ore) | 2 |
| 2 | * | Funzioni assolutamente continue (5 ore) | 2 |
| 3 | * | Calcolo differenziale ed integrale per funzioni a valori in uno spazio di Banach (15 ore) | 1 |
| 4 | * | Integrabilità secondo Bochner (7 ore) | 1 |
| 5 | * | Equazioni differenziali ordinarie negli spazi di Banach (20 ore) | 1 |
| 6 | * | Formulazione variazionale di problemi ai limiti (20 ore) | 3 |
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova orale nella quale allo studente sarà richiesto di esporre alcune definizioni e alcuni teoremi (enunciato e dimostrazione).
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Derivabilità delle funzioni a variazione limitata.
Integrabilità secondo Bochner.
Formulazione variazionale di problemi ai limiti.