ANALISI SUPERIORE

Il corso ha la finalità di fornire conoscenze di base degli strumenti dell'Analisi Funzionale e delle loro applicazioni agli operatori differenziali.

Teoria della misura.

Obbligatoria

1. Funzioni a variazione limitata. Definizioni e proprietà elementari. Teorema di Jordan e corollari. Una norma sullo spazio VL([a,b]). Teorema del ricoprimento di Vitali. Derivazione delle funzioni a variazione limitata. Estensioni.

2. Funzioni assolutamente continue. Definizioni e prime proprietà. Funzioni integrali e loro derivazione, teorema di Lebesgue. Proprietà delle derivate e ricerca delle funzioni primitive. Una norma sullo spazio AC([a,b]). Confronto tra classi di funzioni. Curve rettificabili. Estensioni.

3. Complementi sugli spazi L^p. Teorema di Radon-Nikodym. Derivata di una misura. Teorema della decomposizione di Lebesgue. Spazio duale di L^p. Misure prodotto. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Cambiamento di variabili negli integrali. Derivazione sotto il segno di integrale. Convoluzioni. Principali proprietà, teorema di Young. Densità delle funzioni regolari in L^p. Mollificatori. Principali proprietà. Funzioni cut-off.

4. Cenni di teoria delle distribuzioni. Distribuzioni funzioni e distribuzioni misure. Relazioni. Successioni di distribuzioni. Derivata di una distribuzione. Prodotto tra una funzione regolare e una distribuzione. L'equazione T'=0. Confronto con la derivata in senso classico.

5. Spazi di Sobolev. Definizioni e proprietà elementari. Gli spazi H¹(]a,b[) e H¹₀(Ω). Disuguaglianza di Poincaré. Spazio duale di H¹₀(Ω). Approssimazioni locali e globali. Tracce. Teorema di Rellich. Disuguaglianze di Sobolev in Rⁿ. Teoremi di immersione di Sobolev.

6a. Problemi ai limiti per le equazioni differenziali ordinarie. Il problema di Cauchy in ipotesi di Carathéodory. Problemi di Dirichlet, di Neumann e misto per le equazioni del secondo ordine. Formulazioni variazionali.

6b. Formulazione variazionale di alcuni problemi ai limiti ellittici. I problemi di Dirichlet e di Neumann. Soluzioni deboli, regolarità.

1. H. BREZIS, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli, 1986.

2. G. BUTTAZZO – M. GIAQUINTA – S. HILDEBRANDT, One-dimensional variational pro-blems, Claredon Press, Oxford, 1998.

3. L.V. KANTOROVICH – G.P. AKILOV, Analisi Funzionale, Editori Riuniti, Roma, 1980.

4. C.D. PAGANI – S. SALSA, Analisi matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2016.