TOPOLOGIA ALGEBRICA
Anno accademico 2021/2022 - 1° anno - Curriculum APPLICATIVOCrediti: 6
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 103 di studio individuale, 35 di lezione frontale, 12 di esercitazione
Semestre: 2°
Obiettivi formativi
Il corso intende approfondire alcuni aspetti della Topologia Algebrica. Gli oggetti principali dello studio saranno la teoria dell'omotopia e l'omologia singolare.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Prerequisiti richiesti
Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Le basi della topologia algebrica. Teoria della omotopia, grado di una funzione tra sfere n-dimensionali. Il teorema di Brower in forma generale. I gruppi di omologia singolare. La sequenza esatta di omologia delle coppie. La sequenza di Mayer-Vietoris. Seconda dimostrazione del teorema di Brower. Il teorema di Jordan in forma generale.
Testi di riferimento
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.
2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.
3. W. Massey"Singular homology theory
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Richiami sulla definizione e le proprietà di base del gruppo fondamentale. | |
| 2 | Omeomorfismi locali | |
| 3 | Rivestimenti | |
| 4 | Quozienti per azioni propriamente discontinue | |
| 5 | Monodronia | |
| 6 | Il teorema di Van Kampen. | |
| 7 | Introduzione alla omologia singolare. | |
| 8 | Gruppi di omologia e morfismi associati. | |
| 9 | Omologia relativa | |
| 10 | La sequenza esatta di omologia. | |
| 11 | La proprietà di escissione | |
| 12 | Esempi di calcolo di gruppi di omologia | |
| 13 | Applicazioni |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.
La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
La nozione di rivestimento di uno spazio.
Definizione del n-esimo gruppo di omologia singolare.