REAL ANALISYS
Anno accademico 2021/2022 - 1° anno - Curriculum APPLICATIVOCrediti: 6
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 103 di studio individuale, 35 di lezione frontale, 12 di esercitazione
Semestre: 2°
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fare apprendere alcune tecniche usuali e notevoli teoremi nell'ambito dell'Analisi Reale, nonché le nozioni fondamentali ed alcuni importanti teoremi dell'Analisi Funzionale, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter seguire corsi più avanzati.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
I principali argomenti del programma saranno illustrati dal docente, con lezioni frontali, nei loro aspetti generali e con particolare riguardo ai punti in cui si introducono nuove idee, Gli approndimenti relativi a tali capitoli ed altri argomenti particolari saranno esposti in aula da gruppi di studenti, che si costituiranno di volta in volta rispettando un criterio di avvicendamento. Ciò persegue l'intento di fare acquisire agli studenti quel grado di autonomia nello studio e nella preparazione dell'esposizione che è indispensabile sia per coloro che vorranno inserirsi nel campo della ricerca sia per i futuri insegnanti.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Prerequisiti richiesti
I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2, di Topologia e di Measure and Integration.
Frequenza lezioni
La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.
Contenuti del corso
Misure con segno con densità e teorema di Radon-Nikodym. Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali. Funzioni a variazione limitata ed assolutamente continue. Spazi con seminorme. Spazi normati. Trasformazioni lineari. Il teorema di Hahn-Banach. Topologia debole e debole*. Spazi di Hilbert. Trasfornata di Fourier.
Testi di riferimento
1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line
2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill
3. R. Larsen, Functional Analysis, an introduction, Marcel Dekker
4. H. Royden, Real Analysis, 2nd ed., Macmillan
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Misure con densità. Teorema di Radon-Nikodym | Testo 1: cap. 17 |
| 2 | Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali. | Testo 1: cap. 18 |
| 3 | Funzioni a variazione limitata e assolutamente continue. | Testo 4: cap. 5 |
| 4 | Spazi con seminorme. Spazi normati. | Testo 3: capp. 1 e 2 |
| 5 | Trasformazioni lineari. | Testo 3: cap. 3 |
| 6 | Il teorema di Hahn-Banach. | Testo 3: cap. 4, nn. 1, 2 e 4 |
| 7 | Separazione di insiemi convessi. | Testo 3, cap. 5 |
| 8 | Topologia debole e debole*. | Testo 3: cap. 8, nn. 1,2 |
| 9 | Spazi di Hilbert | Testo 3: cap. 13, nn. 1-6 |
| 10 | Trasformata di Fourier | Testo 2: cap. 9 |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa e argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.
Al termine del corso è prevista una prova orale finale.
Il voto finale d'esame sarà attribuito tenendo conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.
La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
(Learning assessment may also be carried out on line, should the conditions require it.)
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.