ALGEBRA COMPUTAZIONALE

L'obiettivo del secondo modulo del corso è quello di introdurre la teoria delle basi di Groebner, allo scopo di iniziare lo studente all’algebra computazionale ed alle sue applicazioni.

In particolare, il corso si propone di fa acquisire agli studenti le seguenti competenze:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali dell'algebra computazionale; sviluppare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti; avere adeguate competenze computazionali, comprendenti anche la conoscenza di un software specifico.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): dimostrare risultati algebrici e geometrici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi; costruire dimostrazioni rigorose; risolvere problemi di algebra e geometria che richiedono un pensiero originale; essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, formulati nel linguaggio naturale, e di trarre profitto da questa formulazione per chiarirli o risolverli;

Autonomia di giudizio (making judgements): acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema algebrico; essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative (communication skills): saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni, nonché le conoscenze e la ratio ad esse sottese; sapere presentare materiali e argomentazioni scientifiche, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile.

Capacità di apprendimento (learning skills): aver sviluppato un maggior grado di autonomia nello studio.

L'insegnamento è svolto alla lavagna in modo tradizionale. Le esercitazioni comprendono anche l'utilizzo del computer. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Spazi vettoriali. Anelli di polinomi. Anelli quoziente

Fortemente consigliata

I. Teoria di base delle Basi di Groebner. Il caso lineare. Il caso ad una sola variabile. Ordinamenti monomiali. L’Algoritmo di divisione. Definizione di base di Groebner. S-polinomi e Algoritmo di Buchberger. Basi di Groebner ridotte.

II. Applicazioni delle Basi di Groebner. Applicazioni elementari delle Basi di Groebner. Teoria della eliminazione. Mappe polinomiali. Alcune applicazioni alla Geometria Algebrica.

III. Moduli. Basi di Groebner e Sizigie. Calcolo del modulo delle sizigie di un ideale.

1) W.W. Adams, P. Loustaunau, An introduction to Groebner Bases, American Math. Soc, 1994.

Verranno assegnati esercizi di tipo pratico da risolvere al computer tramite l'utilizzo di un software; se risolti con votazione almeno sufficiente si passerà ad un esame orale. Non si terrà conto dei risultati delle esercitazioni svolte durante il corso. La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Teorema di caratterizzazione dell Basi di Groebner. Applicazioni delle Basi di Groebner all'Algebra e alla Geometria Algebrica. Calcolo del modulo delle sizigie di un ideale