FONDAMENTI DELLA MATEMATICA
Anno accademico 2020/2021 - 2° anno - Curriculum DIDATTICOCrediti: 6
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 103 di studio individuale, 35 di lezione frontale, 12 di esercitazione
Semestre: 1°
Obiettivi formativi
L'obiettivo principale del corso è quello fornire agli studenti strumenti concettuali ed operativi che collegano il più possibile quanto studiato nei corsi precedenti. In particolare si intende offrire agli studenti un approccio all'organizzazione logica di una teoria matematica con particolare riguardo alla geometria, all'aritmetica e alla teoria degli insiemi.
In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscere gli aspetti fondazionali della matematica in merito alla teoria degli insiemi, all’aritmetica.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Applicare il metodo assiomatico alla costruzione dei numeri naturali, e delle geometrie
Autonomia di giudizio (making judgements): Esprimere giudizi sulla bontà della soluzione proposta e valutarne l’efficacia. Acquisizione di capacità critiche negli ambiti della matematica.
Abilità comunicative (communication skills): Capacità di comunicare la propria conoscenza matematica.
Capacità di apprendimento (learning skills): Utilizzare le conoscenze acquisite per acquisire nuove conoscenze.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Le lezioni avranno luogo in incontri bisettimanali. Sarà richiesta una partecipazione attiva degli studenti: le lezioni saranno frontali e partecipate.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma
previsto e riportato nel syllabus.
Prerequisiti richiesti
Nessu pre-requisito è richiesto. Sono consigliate conoscenze di elementi di Algebra.
Frequenza lezioni
La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Organizzazione logica di una teoria matematica: teorie assiomatiche; calcolo proposizionale e algebra di Boole; calcolo predicativo. Cenni di Fondamenti di geometria: gli “Elementi” di Euclide. Fondamenti di aritmetica: Assiomi di Peano e assiomi di Pieri; Successivi ampliamenti del concetto di numero. L’infinito matematico: il problema dell’infinito nella matematica greca; il calcolo infinitesimale; concetto di insieme infinito; teoria degli insiemi di Cantor; cardinalità del numerabile e del continuo; confronto di cardinalità; paradossi della teoria degli insiemi; teoria assiomatica degli insiemi; l’assioma della scelta; segmenti di un insieme ben ordinato; il teorema di Zermelo; proposizioni equivalenti all’assioma della scelta.
Testi di riferimento
Attilio Frajese e Lamberto Maccioni (a cura di), Gli Elementi di Euclide, UTET, Torino 1970
Sopra gli assiomi aritmetici, Bollettino dell'Accademia Gioenia Di Scienze Naturali in Catania, 1-2, 1908
M. Kline, Storia del pensiero matematico, Vol.1 e 2. Einaudi, 1999
Durante l'anno vengono forniti agli studenti appunti redatti dal docente contenenti gli argomenti trattati durante le lezioni frontali (su Studium).
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | L’organizzazione logica di una teoria matematica: teorie assiomatiche; calcolo proposizionale e algebra di Boole; calcolo predicativo. | Note del docente |
| 2 | Gli “Elementi” di Euclide | Attilio Frajese e Lamberto Maccioni (a cura di), Gli Elementi di Euclide, UTET, Torino 1970; Note del docente |
| 3 | “Grundlagen der Geometrie” di Hilbert; assiomi di continuità e geometria non-archimedea. | D. Hilbert (a cura di) Fondamenti della geometria, Franco Angeli, Milano 2012; Note del docente |
| 4 | Fondamenti di aritmetica: Assiomi di Peano e assiomi di Pieri; Successivi ampliamenti del concetto di numero | Sopra gli assiomi aritmetici, Bollettino dell'Accademia Gioenia Di Scienze Naturali in Catania, 1-2, 1908. Note del docente |
| 5 | Il problema dell’infinito nella matematica greca; il calcolo infinitesimale; concetto di insieme infinito | M. Kline, Storia della matematica; Note del docente |
| 6 | Teoria degli insiemi di Cantor; cardinalità del numerabile e del continuo; confronto di cardinalità | M. Kline, Storia della matematica; Note del docente |
| 7 | Teoria assiomatica degli insiemi; l’assioma della scelta; segmenti di un insieme ben ordinato; il teorema di Zermelo; proposizioni equivalenti all’assioma della scelta | Note del docente |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’esame finale consiste in una prova orale.
La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Assiomi di continuità;
Numeri secondo Pieri e secondo Peano
Teorie assiomatiche