METODI MATEMATICI PER L'OTTIMIZZAZIONE

Il corso è finalizzato ad introdurre le basi metodologiche dell’ottimizzazione matematica. Il corso si propone dunque di fornire gli strumenti teorici e analitici per modellare e prevedere situazioni in cui un decisore è chiamato ad effettuare la scelta migliore. Particolare enfasi sarà data alle applicazioni nei settori socio-economico, informatico e ingegneristico.

Alla fine del corso lo studente sarà in grado di formulare un modello matematico di un problema di vita reale, codificarlo nel linguaggio algebrico di riferimento (AMPL) ed interpretare la soluzione trovata.

Il corso si propone di fornire le seguenti competenze:

Conoscenza e capacità di comprensione: acquisizione di conoscenze di base nell’ambito dell' ottimizzazione e della modellizzazione matematica; capacità di riconoscere i problemi di ottimizzazione e sviluppare modelli matematici di problemi decisionali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: capacità di applicare metodi numerici per calcolare le soluzioni di problemi decisionali complessi e di interpretare la soluzione; uso di ambienti e software per la programmazione matematica.

Autonomia di giudizio: acquisizione di consapevole autonomia di giudizio attraverso lo svolgimento autonomo delle esercitazioni in aula e in laboratorio.

Abilità comunicative: capacità di sostenere una conversazione e/o di leggere testi su argomenti riguardanti la modellazione di problemi decisionali; appropriatezza espressiva nell'impiego del linguaggio tecnico; capacità di trasmettere la propria esperienza e conoscenza ad altri.

Capacità di apprendimento: acquisizione di adeguate capacità per lo sviluppo e l'approfondimento di ulteriori competenze; conseguimento di una preparazione di base e di una autonomia di studio che consenta agli studenti di consultare libri di testo avanzati e riviste specializzate nei settori di ricerca dell'ottimizzazione matematica.

Il corso comprende lezioni frontali, esercitazioni in aula e presso i laboratori informatici, se consentito. Per ogni argomento, saranno svolti dal docente vari esercizi e saranno organizzate esercitazioni guidate.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Nessuno.

Fortemente consigliata.

INTRODUZIONE ALL’OTTIMIZZAZIONE MATEMATICA Modelli e sistemi decisionali. Esistenza delle
soluzioni. Soluzione grafica di un problema di ottimizzazione. Problemi convessi e concavi. (circa 4 ore)

CONDIZIONI DI OTTIMALITA'. Direzioni di discesa. Condizioni di ottimalità per problemi non vincolati. Coni, coni tangenti, coni normali. Condizioni di ottimalità per problemi vincolati. Punti regolari. Condizioni KKT. Moltiplicatori di Lagrange. Condizione di ottimalità generalizzata. Punti sella. Dualità lagrangiana. Dualità di Wolfe. (circa 18 ore)

METODI RISOLUTIVI Preliminari sui metodi di ottimizzazione. Classificazione e convergenza dei metodi.
Soluzioni globali e locali. Ottimizzazione non vincolata. Metodi di ricerca unidimensionale. Il metodo del
gradiente. Il metodo del gradiente coniugato. Il metodo di Newton. Ottimizzazione vincolata. Il metodo di
penalità. Il metodo di barriera logaritmica. Il metodo del Lagrangiano aumentato. Programmazione
quadratica sequenziale. (circa 8 ore)

OTTIMIZZAZIONE MULTIOBIETTIVO Ottimo secondo Pareto. Frontiera efficiente. Metodi risolutivi. (circa 4 ore)

GENERATORI ALGEBRICI DI MODELLI Linguaggio AMPL. Struttura di un programma AMPL. Istruzioni
elementari AMPL: insiemi, parametri, variabili. Espressioni algebriche e logiche. Funzione obiettivo e
vincoli con espressioni di indicizzazione. Risoluzione e visualizzazione dei risultati. (circa 6 ore)

APPLICAZIONI (circa 8 ore)

1. I. Capuzzo Dolcetta, F. Lanzara, A. Siconolfi, Lezioni di ottimizzazione - Nuova Cultura, 2013
2. R. Tadei, F. Della Croce, A. Grosso, “Fondamenti di Ottimizzazione”, Società Editrice Esculapio, 2005;
3. M. Bruglieri, A. Colorni, “Ricerca Operativa”, Zanichelli, 2012;
4. F. Fumero, Metodi di ottimizzazione. Esercizi ed applicazioni - Esculapio, 2013 ​
5. R. T. Rockafellar, R. J-B Wets, Variational Analysis
6. S. Boyd, L. Vandenberghe, Convex optimization
7. J. Jahn, Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization - Springer- Verlag, Berlin (1996).

Le competenze e le conoscenze acquisite dagli studenti saranno verificate tramite un esame orale con risoluzione di esercizi e/o implementazione di un codice in AMPL.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Funzioni convesse, coni tangenti, metodi di ottimizzazione vincolata e non vincolata, linguaggio AMPL.