SET-THEORETIC TOPOLOGY
Anno accademico 2019/2020 - 1° anno - Curriculum APPLICATIVOCrediti: 6
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 103 di studio individuale, 35 di lezione frontale, 12 di esercitazione
Semestre: 1°
Obiettivi formativi
Addestramento all'uso del linguaggio formale in matematica astratta. Una parte del corso fornisce gli strumenti di Teoria degli Insiemi che verranno poi applicati ad alcuni argomenti di Topologia Generale.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.
Prerequisiti richiesti
Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Introduzione alla Teoria degli Insiemi. Numeri ordinali e cardinali. Filtri e Ultrafiltri. Lo spazio topologico degli ultrafiltri sugli interi. Complementi di Topologia Generale.
Testi di riferimento
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.
2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Gli assiomi della teoria degli insiemi. Buon ordinamenti. | 1 |
| 2 | I numeri ordinali e la loro relazione con i buon ordinamenti. | 1 |
| 3 | Equipotenza e cardinalita'. I numeri cardinali e la loro aritmetica. | 1 |
| 4 | La nozione di cofinalita' di un cardinale. Cardinali regolari e teorema di Koenig. | 1 |
| 5 | L'ipotesi del continuo. | 1 |
| 6 | Cardinali misurabili. | 1 |
| 7 | Applicazioni dell'induzione transfinita. | 1 |
| 8 | Filtri e ultrafiltri. Il numero degli ultrafiltri liberi su un insieme. | 1 |
| 9 | Ultrafiltri speciali sugli interi. Esistenza di ultrafiltri selettivi. | 1 |
| 10 | Lo spazio topologico degli ultrafiltri sugli interi. Proprieta' della compattificazione di Cech-Stone. | 1 |
| 11 | Applicazioni alla numerabile e alla sequenziale compattezza. | 1 |
| 12 | Lo spazio topologico degli ultrafiltri liberi sugli interi. Il teorema di non omogeneita' di Rudin. | 1 |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Definizione di ordinale e sue proprieta'.
La nozione di ultrafiltro.