MODELLI MATEMATICI PER L'OTTIMIZZAZIONE

Gli obiettivi del corso di Metodi e Modelli di Ottimizzazione sono i seguenti:

• determinare cammini di lunghezza minima e massima a partire da un nodo radice;
• applicare i concetti di derivate generalizzate alle funzioni;
• applicare la teoria lagrangiana ai problemi di ottimizzazione vincolata;
• formulare un problema di equilibrio in termini di disequazione variazionale di evoluzione;
• risolvere le disequazioni variazionali di evoluzione.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

Alla fine del corso di Metodi e Modelli di Ottimizzazione, lo studente, avrà acquisito le conoscenze e le capacità di base nell’ambito dell'ottimizzazione e della modellizzazione matematica e dimostrerà di:

• riconoscere problemi di ottimizzazione vincolata
• essere in grado di formulare poroblemi concreti in termini matematici
• possedere conoscenze e capacità di comprensione di testi.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

Le conoscenze teoriche e pratiche acquisite durante il corso permetteranno allo studente di:

• individuare le caratteristiche funzionali dei dati forniti;
• analizzare criticamente varie situazioni aziendali;
• proporre soluzioni ottimali a problemi complessi;
• identificare l'essenza di un problema e applicare principi generali a casi specifici.

Autonomia di giudizio (making judgements):

Lo studente, in virtù della formazione acquisita, anche di tipo analitico-quantitativo, sarà in grado di analizzare ed interpretare criticamente i dati forniti.

Abilità comunicative (communication skills):

Alla fine del corso di Metodi e Modelli di Ottimizzazione lo studente sarà in grado di:

• trasmettere la propria esperienza e conoscenza ad altri;
• confrontarsi con gli altri, specialmente nell'elaborazione di progetti in cui si lavora in gruppo.

Capacità di apprendimento (learning skills):

• Lo studente avrà acquisito capacità di apprendere, anche in modo autonomo, ulteriori conoscenze sui problemi di ottimizzazione. Tali capacità gli consentiranno di affrontare e risolvere problemi concreti.

L'insegnamento verrà svolto mediante lezioni frontali, esercitazioni in aula e presso i laboratori informatici e seminari.

Sono richiesti i concetti di base dell'Analisi Matematica I e II (differenziabilità, convessità di insiemi e funzioni, topologia, ...), della Ricerca Operativa (concetto di rete e di disequazione variazionale) e dell'Ottimizzazione (problemi di minimo, sottodifferenziali,...)

La frequenza è fortemente consigliata

Teoria dei grafi (circa 12 ore):

Digrafi e grafi: definizioni e nozioni preliminari. Rappresentazione mediante matrici. Algoritmo di Kruskal e sua variante. Algoritmo di Dijkstra e sua variante. Algoritmo di Ford. Ordinamento in livelli dei nodi in un digrafo privo di circuiti. Algoritmo di Bellmann-Kalaba. Il problema del commesso viaggiatore.

Derivate generalizzate (circa 10 ore)

Derivate direzionali. Derivate di Gâteaux e di Fréchet. Sottodifferenziali

Metodi risolutivi (circa 8 ore)

Metodo del sottogradiente, metodo di discretizzazione.

Modelli su reti (circa 17 ore)

Reti di traffico. Paradosso di Braess. Misura dell'efficienza di una rete. Reti a tre livelli di decisionisti.

1. L. Daboni, P. Malesani, P. Manca, G. Ottaviani, F. Ricci, G. Sommi, “Ricerca Operativa”, Zanichelli, Bologna, 1975.
2. P. Daniele, “Dynamic Networks and Evolutionary Variational Inequalities", Edward Elgar Publishing, 2006.
3. J. Jahn, "Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization", Springer, 1996.
4. Dispense su STUDIUM

L'esame finale consiste in una prova orale durante la quale il candidato dimostra di aver assimilato gli argomenti trattati nel corso.

Esempi di domande:

Presentare l'algoritmo per il cammino di lunghezza minima in un grafo.

Presentare il metodo del sottogradiente.

Presentare il metodo di discretizzazione.

Dimostrare le proprietà delle derivate generalizzate.

Confrontare la misura di Latora-Marchiori con quella di Nagurney-Qiang.

Presentare una super-rete ed esaminare il comportamento dei produttori.