ANALISI FUNZIONALE

L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente una trattazione approfondita delle strutture generali di base sulle quali poggianno gli sviluppi più avanzati dell'Analisi. Si metterà in evidenza come alcuni argomenti noti allo studente trovino in quelle strutture la loro collocazione più naturale e definitiva.

Nel dettaglio, declinati secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente imparerà ad operare negli spazi vettoriali topologici e con gli operatori lineari e continui tra di essi.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente sarà guidato nella capacità di individuare da sè applicazioni dei risultati generali man mano stabiliti.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente verrà stimolato a studiare da sè alcuni risultati non sviluppati durante le lezioni.

Abilità comunicative (communication skills): lo studente imparerà ad esporre in maniera chiara, rigorosa e concisa.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà in grado di affrontare esercizi e trovare da sè dimostrazioni di risultati semplici.

L'insegnamento si svolgerà attraverso lezioni frontali.

I prerequisiti richiesti si possono individuare nei contenuti dei corsi di Analisi I e II e di Topologia generale, nonchè nelle nozioni di base di Algebra lineare.

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.

Spazi vettoriali topologici. Caratterizzazione delle topologie vettoriali. Caratterizzazione
degli spazi vettoriali topologici di Hausdorff. Spazi vettoriali topologici localmente
convessi e loro caratterizzazione. Caratterizzazione degli spazi vettoriali topologici localmente
convessi metrizzabili. Spazi di Fréchet. Spazi normati. Spazi di Banach. Criterio
di Kolmogoroff sulla normabilità di uno spazio vettoriale topologico. Caratterizzazione
degli spazi vettoriali topologici di Hausdorff aventi dimensione finita. Caratterizzazione
di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato. Caratterizzazione della continuità
del funzionale di Minkowski relativo ad un insieme convesso radiale nell'origine.
Teorema di Hahn-Banach e suoi corollari. Teoremi di separazione.

Operatori e funzionali lineari. Vari criteri di continuità per operatori e funzionali lineari. Lo spazio degli operatori
lineari e continui tra due spazi normati. Il teorema della mappa aperta. Il teorema
dell'inverso continuo. Il teorema delle due norme. Il teorema del grafico chiuso. Il principio
dell'uniforme limitatezza. Il teorema di Banach-Steinhaus.

Topologie deboli. La topologia debole di uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff localmente convesso.
Coincidenza della chiusura convessa e della chiusura convessa debole di un insieme.
Teorema di Mazur. Minimizzazione dei funzionali quasi convessi semicontinui inferiormente
su insiemi debolmente compatti. Equivalenza della continuità forte e della continuità
debole per gli operatori lineari tra spazi di Banach. Confronto tra la topologia forte,
la topologia debole e la topologia debole stella nel duale topologico di uno spazio normato.
Teorema di Krein-Smulyan (solo l'enunciato). Teorema di Eberlein-Smulyan (solo
l'enunciato). Caratterizzazione della finito-dimensionalità di uno spazio normato mediante
la coincidenza della topologia forte e della topologia debole. Polari e loro proprietà.
Il teorema del bipolare. Il teorema di Banach-Alaoglu. L'applicazione canonica di uno
spazio normato nel suo biduale. Il teorema di Goldstine.

Spazi di Banach riflessivi. Le caratterizzazioni di Kakutani e di James degli spazi di Banach riflessivi. Caratterizzazione
degli spazi di Banach riflessivi e separabili. Metrizzabilità degli insiemi debolmente compatti
negli spazi normati separabili. Separabilità e topologie deboli. Spazi uniformementi
convessi. Teorema di Milman-Pettis.

Spazi pre-hilbertiani. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Caratterizzazione delle
norme pre-hilbertiane. Spazi di Hilbert. Rappresentazione di uno spazio di Hilbert come
somma diretta di un suo sottospazio vettoriale chiuso e del complemento ortogonale di
questo. Il teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari e continui negli
spazi di Hilbert. Insiemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval.
Teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di basi ortonormali per gli spazi di Hilbert separabili.

1. L. V. Kantorovich, G. P. Akilov, Analisi funzionale, Editori Riuniti.

L'esame consiste in una prova orale nella quale allo studente sarà richiesto di esporre alcune definizioni e alcuni teoremi (enunciato e dimostrazione).

La caratterizzazione di Kakutani della riflessività di uno spazio di Banach.

La topologia debole di uno spazio normato.

Il teorema della mappa aperta.