GEOMETRIA ALGEBRICA

Il corso si prefigge una introduzione alle teorie e alle tecniche di base della Geometria Algebrica moderna, approfondendo la teoria

delle varietà algebriche affini e proiettive, dei loro morfismi e isomorfismi con applicazioni allo studio delle loro proprietà intrinseche

ed estrinseche (relative a una loro immersione fissata).

Il corso si prefigge anche lo scopo affinare la capacità di astrazione e, d’altra parte, mostrare come una buona conoscenza teorica permetta di sviluppare significativi strumenti applicativi.

In particolare, il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:

1) Conoscenza di risultati e di metodi fondamentali della teoria delle varietà algebriche. Capacità di leggere, comprendere e approfondire un argomento della letteratura matematica e riproporlo in modo chiaro ed accurato. Capacità di comprendere i problemi e di estrarne gli elementi sostanziali.

2) Capacità di costruire o risolvere esempi od esercizi e di affrontare problemi teorici nuovi, ricercando le tecniche più adatte e applicandole opportunamente.

3) Essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito della Geometria Algebrica e delle sue applicazioni. Essere in grado di formulare autonomamente giudizi pertinenti sull'applicabilità di modelli algebro-geoemtrici a situazioni teoriche e/o concrete.

4) Capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti, nonché degli strumenti computazionali adottati.

5) Leggere e approfondire un argomento della letteratura di Geometria Algebrica. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico di argomenti relativi alle varietà algebriche non precedentemente approfonditi.

Oltre alle lezioni frontali, dove si svilupperanno le fondamenta teoriche della disciplina, si terranno

numerose sessioni di esercitazioni che prevedono la soluzione alla lavagna di esercizi da liste preassegnate

da parte degli studenti per permettere agli stessi di possedere una ampia gamma di esempi rilevanti su

cui testare le teorie astratte in casi particolari.

Nessuno.

Fortemente consigliato: Istituzioni di Algebra Superiore.

Fortemente consigliata

I) -- Insiemi algebrici affini e proiettivi. Topologia di Zariski sullo spazio affine e proiettivo. Corrispondenza tra insieme algebrici affini e ideali radicali di un anello di polinomi (campo algebricamente chiuso). Insiemi algebrici irriducibili e loro corrispondenza con gli ideali primi di un anello di polinomi. Anello delle coordinate di una varietà affine e di una varietà proiettiva. Decomposizione di un insieme algebrico in componenti irriducibili e legami con la decomposizione primaria di un ideale. Dimensione di una varietà algebrica: versione topologica e algebrica.

II) -- Funzioni regolari su una varietà algebrica quasi-proiettiva: definizione e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Morfismi tra varietà: definizione e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Anello locale delle funzioni regolari su una varietà: definizioni e prime proprietà. Funzioni razionali su una varietà: definizione e prime proprietà. Applicazioni razionali (e birazionali) tra varietà: definizioni e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Corrispondenza tra applicazioni razionali dominanti e omomorfismi dei rispettivi campi di funzioni razionali. Funzioni regolari su una varietà proiettiva e applicazioni.

III) -- Prodotto di varietà algebriche: proprietà universale, esistenza e unicità. Esempi e applicazioni: morfismo grafico, morfismo diagonale, decomposizione di un morfismo tramite morfismo grafico e proiezioni dal prodotto. Teorema Fondamentale della Teoria della Eliminazione. Esempi e applicazioni.

IV) -- Punto non singolare di una varietà: definizione estrinseca e intrinseca. Luogo singolare. Scoppiamento di una varietà in un punto.
Cono tangente e spazio tangente a una varietà in un punto: definizioni intrinseche e estrinseche. Esempi e applicazioni. Definizione di molteplicità algebrica di un punto su una varietà. Confronto tra cono tangente e spazio tangente: criterio di non-singolarità.

V) -- Teorema della Dimensione delle Fibre. Applicazioni. Criterio Irriducibilità. Applicazione allo studio delle rette su superficie in $\mathbb P^3$
con particolare riguardo al caso cubico. Varietà duale e Teorema di Bertini.

VI) -- Intersezione negli spazi proiettivi. Dimensione intersezione di varietà proiettive. Grado di una varietà proiettiva: definizione geometrica e algebrica tramite Polinomio di Hilbert. Richiami su Annullatore e Primi Associati di un modulo graduato su un anello di polinomi. Molteplicità di un modulo lungo un primo minimale. Teorema di Hilbert-Serre e Polinomio di Hilbert di una varietà proiettiva. Teorema di Bèzout generalizzato e applicazioni. Definizione locale di molteplicità di intersezione e confronto con la molteplicità del modulo associato. Molteplicità di intersezione di curve piane: esempi e proprietà. Flessi di curve algebriche piane e curva hessiana. Esempi e applicazioni. Studio di alcune classi di punti singolari: punti multipli ordinari e loro risoluzione per scoppiamento. Singolarità non ordinarie e tacnodi.

1) R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer Verlag.

2) I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer-Verlag.

3) D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer Verlag.

Colloquio orale.

Durante il corso vengono assegnati degli esercizi, risolti in classe dagli studenti e che contribuiscono al voto finale di superamento del corso.

Le domande del colloquio orale riguardano tutto il programma del corso mentre gli esercizi assegnati frequentemente sono disponibili sul sito internet del corso:

http://www.dmi.unict.it/~frusso/DMI/Geometria_Algebrica.html