METODI MATEMATICI PER L'OTTIMIZZAZIONE

Il corso è finalizzato ad introdurre le basi metodologiche dell’ottimizzazione matematica. Il corso si propone dunque di fornire gli strumenti teorici e analitici per modellare e prevedere situazioni in cui un decisore è chiamato ad effettuare la scelta migliore. Particolare enfasi sarà data alle applicazioni nei settori socio-economico, informatico e ingegneristico.

Alla fine del corso lo studente sarà in grado di formulare un modello matematico di un problema di vita reale, codificarlo nel linguaggio algebrico di riferimento (AMPL) ed interpretare la soluzione trovata. In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): l'obiettivo del corso è fornire agli studenti gli strumenti analitici e metodologici per affrontare problemi di ottimizzazione e le tecniche di modellazione matematica dei problemi decisionali. Gli studenti inoltre acquisiranno la conoscenza di alcuni algoritmi risolutivi di problemi di programmazione non lineare.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): gli studenti acquisiranno le competenze necessarie a riconoscere i problemi di ottimizzazione e sviluppare modelli matematici di problemi decisionali. In particolare, gli studenti saranno in grado di calcolare le soluzioni di problemi di programmazione non lineare e di implementare codici in AMPL.

Autonomia di giudizio (making judgements): gli studenti acquisiranno autonomia nelle scelte modellistiche ed algoritmiche relative a problemi decisionali complessi.

Abilità comunicative (communication skills): gli studenti saranno in grado di sostenere una conversazione e di leggere testi su argomenti riguardanti la modellazione di problemi decisionali e acquisiranno ulteriori abilità comunicative e di appropriatezza espressiva nell'impiego del linguaggio tecnico.

Capacità di apprendimento (learning skills): il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze e le competenze nel campo dell'ottimizzazione e dei problemi di ottimizzazione che sorgono in varie aree, quali la matematica, l'informatica e l'ingegneria gestionale.

Il corso comprende lezioni frontali, esercitazioni e seminari di approfondimento tenuti dagli studenti.​ Le lezioni si svolgeranno alla lavagna o con il supporto del videoproiettore. Per ogni argomento, saranno svolti alla lavagna vari esercizi. Altri esercizi saranno proposti agli studenti, che potranno svolgerli singolarmente o in gruppo.

Nessuno.

Fortemente consigliata.

INTRODUZIONE ALL’OTTIMIZZAZIONE MATEMATICA Modelli e sistemi decisionali. Esistenza delle soluzioni. Soluzione grafica di un problema di ottimizzazione. Insiemi e funzioni convesse. Insiemi di livello. Teoremi di separazione. Interno relativo.

GEOMETRIA VARIAZIONALE Coni, coni tangenti, coni normali. Derivate generalizzate (cenni).

CONDIZIONI DI OTTIMALITÀ Condizioni di ottimalità per problemi non vincolati. Punti regolari. Moltiplicatori di Lagrange. Condizioni di ottimalità per problemi con vincoli di uguaglianza. Condizioni generalizzate. Problemi duali.

METODI RISOLUTIVI Preliminari sui metodi di ottimizzazione. Classificazione e convergenza dei metodi. Soluzioni globali e locali. Ottimizzazione non vincolata. Metodi di ricerca unidimensionale. Il metodo del gradiente. Il metodo del gradiente coniugato. Il metodo di Newton. Ottimizzazione vincolata. Il metodo di penalità. Il metodo di barriera logaritmica. Il metodo del Lagrangiano aumentato. Programmazione quadratica sequenziale.

OTTIMIZZAZIONE MULTIOBIETTIVO Ottimo secondo Pareto. Frontiera efficiente. Metodi risolutivi.

GENERATORI ALGEBRICI DI MODELLI Linguaggio AMPL. Struttura di un programma AMPL. Istruzioni elementari AMPL: insiemi, parametri, variabili. Espressioni algebriche e logiche. Funzione obiettivo e vincoli con espressioni di indicizzazione. Risoluzione e visualizzazione dei risultati.

APPLICAZIONI

1. I. Capuzzo Dolcetta, F. Lanzara, A. Siconolfi, Lezioni di ottimizzazione - Nuova Cultura, 2013
2. R. Tadei, F. Della Croce, A. Grosso, “Fondamenti di Ottimizzazione”, Società Editrice Esculapio, 2005;
3. M. Bruglieri, A. Colorni, “Ricerca Operativa”, Zanichelli, 2012;
4. F. Fumero, Metodi di ottimizzazione. Esercizi ed applicazioni - Esculapio, 2013 ​
5. R. T. Rockafellar, R. J-B Wets, Variational Analysis
6. S. Boyd, L. Vandenberghe, Convex optimization
7. J. Jahn, Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization - Springer- Verlag, Berlin (1996).

Le competenze e le conoscenze acquisite dagli studenti saranno verificate tramite un esame orale con risoluzione di esercizi e/o implementazione di un codice in AMPL.

Durante la seconda metà di aprile, sarà proposta agli studenti una prova in itinere in forma scritta riguardante la prima metà del programma e corrispondente a 4,5 CFU. La prova in itinere non è obbligatoria.​ Coloro che la supereranno, potranno svolgere l'esame finale, entro la sessione di ottobre 2019, solo sulla seconda parte del programma; tutti gli altri svolgeranno l'esame finale su tutto il programma.

Funzioni convesse, coni tangenti, metodi di ottimizzazione vincolata e non vincolata, linguaggio AMPL.