ISTITUZIONI GEOMETRIA SUPERIOREModulo MODULO 2
Anno accademico 2024/2025 - Docente: Angelo BELLARisultati di apprendimento attesi
Il corso intende approfondire alcuni aspetti della Topologia Algebrica. Gli oggetti principali dello studio saranno lo studio del gruppo fondamentale ed alcuni risultati notevoli di teoria dell'omotopia.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Prerequisiti richiesti
Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Le basi della topologia algebrica. Teoria della omotopia.
Parte I: omotopia di funzioni e di cammini. Definizione del gruppo fondamentale. Omomorfismo indotto da una funzione continua e sue proprieta' omotopiche. Spazi contraibili e deformazioni. Il gruppo fondamentale della sfera. Spazi proiettivi reali e complessi. Semplice connessione dello spazio proiettivo complesso. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Calcolo del gruppo fondamentale del piano proiettivo reale. I teoremi di Brouwer e Borsuk-Ulam in dimensione 1 e 2. Il teorema della curva di Jordan.
Parte II: Simplessi euclidei e simplessi sferici. Triangolazioni della sfera e mappa propria dei vertici. Definizione del grado di una funzione continua tra sfere omodimensionali. Invarianza per omotopia del grado di una funzione continua. Il teorema del punto fisso di Brouwer e le sue forme equivalenti. Funzioni continue tra sfere di dimensioni diverse e applicazioni. Estensione di funzioni a valori in una sfera. Il teorema di Borsuk. Invarianti posizionali. Il teorema di separazione di Borsuk. Il teorema sull'invarianza del dominio. Verso la forma completa del teorema di separazione di Jordan. I teoremi di Eilemberg e Janaszewski. Il teorema della curva di Jordan (seconda dimostrazione).
Testi di riferimento
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.
2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.
3. Dugundji "Topology"
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Omotopia di funzioni e spazi. Spazi contraibili. Esempi. | |
| 2 | Omotopiae prolungamenti di funzioni. Retratti e deformazioni. Proprieta' dell'omotopia tra cammini. | |
| 3 | Definizione del gruppo fondamentale. Prime proprietà del gruppo fondamentale. Isomorfismo indotto da un cammino. Il teorema di Lebesgue. | |
| 4 | Un criterio di sempliceconnessione. Il gruppo fondamentale della sfera. Spazi proiettivi reali e complessi. Semplice connessione dello spazio proiettivo complesso. | |
| 5 | Teoremi di sollevamento per cammini e omotopia.Monodromia. Calcolo del gruppo fondamentale della circonferenza e sue applicazioni. Il teorema del punto fisso di Brouwer indimensione 1 e 2. | |
| 6 | Calcolo del gruppo fondamentale del pianoproiettivo reale. il teorema di Borsuk-Ulam in dimensione 1 e 2.Sollevamento di una funzione su una sfera e seconda dimostrazionedel teorema di Borsuk-Ulam. | |
| 7 | La curva di Peano. Il teorema della curva di Jordan. Simplessi lineari e sferici. Triangolazione diuna sfera n-dimensionale. La mappa propria dei vertici. | |
| 8 | Primo passo verso la definizione del grado di una funzione continua tra sfere equidimensionali. Invarianza per omotopia del grado di una funzione. Il teorema di Brouwer. | |
| 9 | Teorema del punto fisso indimensione qualunque. Funzioni tra sfere di dimensioni diverse eapplicazioni. Estensione di funzioni a valori in sfere. | |
| 10 | Il teorema del prolungamento di Borsuk. invarianti posizionali. Il teorema di separazione di Borsuk. Invarianza del dominio. | |
| 11 | Verso la forma generale del teorema di separazione di Jordan. I teoremi di Eilemberg e Janiszewski. | |
| 12 | Seconda dimostrazione del teorema della curva di Jordan. |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.
La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Definizione del gruppo fondamentale.
Isomorfismo indotto da un cammino.
Il teorema del punto fisso.