ANALISI FUNZIONALE

Il corso contribuisce all'acquisizione delle competenze teoriche e logiche per la formazione del laureato in Matematica. In particolare, fornisce gli strumenti di  base dell'Analisi Funzionale, utili per chi vuole intraprendere  l'attività di ricerca. Saranno presentate  strutture più ampie rispetto a quelle che lo studente già conosce dagli studi precedenti,  quali gli spazi vettoriali topologici e  gli spazi localmente convessi. Sarà fatto uno studio  approfondito degli spazi di Banach e degli operatori tra spazi di Banach.  Saranno presentate le topologie deboli e classi di spazi di Banach particolarmente importanti: gli spazi riflessivi.

Nel dettaglio, declinati secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

 Lo studente conoscerà i concetti fondamentali e i teoremi classici dell'Analisi Funzionale e  alcune importanti classi di spazi,  quali gli spazi riflessivi. Imparerà ad operare negli spazi vettoriali topologici e con gli operatori lineari e continui tra di essi e  ad usare le topologie deboli.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

Lo studente sarà in grado  di applicare i risultati generali appresi alla risoluzione di alcuni esercizi teorici e/o  tecnici.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente verrà stimolato a studiare autonomamente alcuni risultati non sviluppati durante le lezioni e ad esporli in un seminario.

Abilità comunicative (communication skills): lo studente imparerà ad esporre i contenuti del corso in maniera chiara, puntuale e sintetica,  con rigore e spirito critico.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà in grado di riflettere sulle dimostrazioni e di padroneggiare alcune tecniche che possono essere utili per affrontare altri  problemi.

Spazi vettoriali topologici. Definizione e caratterizzazione delle topologie vettoriali. Caratterizzazione degli spazi vettoriali topologici di Hausdorff.  Spazi vettoriali topologici localmente convessi e loro caratterizzazione. Topologia della convergenza uniforme sui compatti dello spazio C(S)  con S aperto di  R_n. Topologia vettoriale non localmente convessa sullo spazio C([0,1]). Metrizzabilità degli spazi localmente convessi. Normabilità di uno spazio vettoriale topologico. Spazi normati. Spazi di Banach. Spazi vettoriali topologici di Hausdorff aventi dimensione finita. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato.  Funzionale di Minkowski. Teorema di Hahn-Banach e suoi corollari. Teoremi di separazione.

Operatori e funzionali lineari. Vari criteri di continuità per operatori e funzionali lineari. Lo spazio degli operatori lineari e continui tra due spazi normati. Il teorema della Mappa aperta ed applicazioni. Il teorema del grafico chiuso. Il principio dell' uniforme limitatezza. Il teorema di Banach-Steinhaus. Aggiunto di un operatore. Nucleo e rango di un operatore. Operatori compatti e debolmente compatti. Teorema di Gantmacher. Teorema di Davis-Figiel-Johnson-Pelczynski.

Topologie deboli. La topologia debole di uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff  localmente convesso. Coincidenza della chiusura  e della chiusura  debole di un insieme convesso. Teorema di Mazur. Confronto tra la topologia forte, la topologia debole e la topologia debole stella nel duale topologico di uno spazio normato. Teorema di Krein-Smulyan. Teorema di Eberlein-Smulyan. Caratterizzazione della finito-dimensionalità di uno spazio normato mediante la coincidenza della topologia forte e della topologia debole. Il teorema di Banach Alaoglu. Il teorema di Goldstine.

Basi di Schauder. Definizione di basi di Schauder. Successioni basiche. Tecniche di Mazur per la costruzione di successioni basiche. Basi di Schauder Shrinking e boundedly complete.  Serie debolmente incondizionatamente di Cauchy. Teorema c_0 di Pelczynski.  Teorema di Ramsey. Teorema l_1 di Rosenthal.

Spazi di Banach riflessivi. Teorema di Bishop-Phelps. Teorema di James sui debolmente compatti.   Caratterizzazioni di James degli spazi di Banach riflessivi. Caratterizzazione degli spazi di Banach riflessivi con basi di Schauder. Metrizzabilità degli insiemi debolmente compatti negli spazi normati separabili. Separabilità e topologie deboli. Spazi uniformementi convessi. Teorema di Milman-Pettis.

Aspetti geometrici della proprietà di Radon-Nikodym. Insiemi convessi con la Proprietà di Radon-Nikodym. Punti estremi e proprietà di Krein-Milman. Punti esposti, fortemente esposti e punti di supporto. Densità dei funzionali di supporto. Teorema di Lindenstrauss. Insiemi che perdono la proprietà di Krein-Milman. Punti dentabili. Teorema di Huff-Morris-Davis-Phelps. 

1. R.D.  Bourgin, Geometrical aspects of convex sets with the Radon-Nikodym property. LNM 993 Springer-Verlag. (1983)

2. J. Diestel, Geometry of Banach spaces - selected topics. LNM 485  Springer-Verlag. (1975)

3. J. Diestel, Sequences and series in Banach spaces. Springer-Verlag. (1984)

4. J. Horvath, Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley. (1966)

5. R. E. Megginson, An introduction to Banach space theory. Springer-Verlag. (1998)

Modalità di verifica dell'apprendimento

Le domande di seguito riportate non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi.

1. Teorema di Hahn Banach versione geometrica e teoremi di separazione

2. Spazi riflessivi e caratterizzazione

3. Esempio di spazio topologico non localmente convesso.

4. Esempio di insieme convesso senza la Krein-Milman property.

5. Teorema di James.