METODI NUMERICI PER EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI

Obiettivo primario del corso di Analisi Numerica è quello di fornire allo studente i concetti e le tecniche fondamentali nello studio dei metodi per la risoluzione numerica (cioè al calcolatore) di modelli matematici retti da sistemi di equazioni differenziali. Il primo modulo si occupa principalmente dei metodi per equazioni differenziali ordinarie. Il secondo modulo rappresenta una introduzione ai metodi per la risoluzione numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali, con particolare riferimento alle equazioni Fisica Matematica: equazioni paraboliche, ellittiche ed iperboliche. Gli studenti vengono esposti alle fondamentali nozioni di consistenza, stabilità e convergenza dei metodi, nonché a questioni pratiche che riguardano la loro accuratezza, efficienza e robustezza. Per completezza, durante il corso vengono richiamate le principali proprietà matematiche di tali equazioni, ed alcune loro applicazioni principali alla descrizione di fenomeni stazionari e dipendenti dal tempo.

Naturale continuazione dei primo modulo esso è indicato per chi ha interessi per le applicazioni della matematica a una grande varietà di modelli del mondo reale. Chi volesse approfondire gli argomenti trattati nel corso potrà poi seguire il corso di Fluidodinamica Computazionale, al secondo anno della Magistrale, dedicato alle tecniche per la soluzione numerica delle equazioni di Eulero e Navier-Stokes che governano il moto di fluidi e gas.

Il corso consiste in lezioni frontali, durante le quali vengono illustrati i vari argomenti. Verranno effettuate esercitazioni pratiche con implementazione al calcolatore dei principali metodi spiegati a lezione. L'esame consiste in un colloquio orale.  

Le lezioni saranno in presenza, oppure in modalità mista o a distanza, a seconda di quanto consentito dalle misure di contenimento della pandemia, e nel rispetto della sicurezza degli studenti e del docente.

Propedeuticità: nessuna; si assume la conoscenza di nozioni di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale, nozioni di programmazione e conoscenza di un linguaggio di programmazione adatto al calcolo scientifico, come Matlab o Python, nonché nozioni di calcolo numerico. 

Modulo 2:

6 CFU, 48 ore di didattica frontale.

La frequenza delle lezioni, per quanto non obbligatoria per il superamento dell'esame, è tuttavia fortemente consigliata. 

Richiami di modelli retti da equazioni alle derivate parziali: equazioni di Poisson, del calore e delle onde. 

Richiami di buona positura dei problemi per le equazioni differenziali della Fisica Matematica. 

Equazione del calore. Richiami su alcuni procedimenti per ottenere soluzioni esatte in casi particolari: metodo di Fourier e di separazione delle variabili. 
Metodo di Eulero in avanti. Analisi della stabilità: metodo di von Neuman. Metodi impliciti: schema di Eulero all'indietro e di Crank-Nicholson. Sistemi tridiagonali.Equazioni del calore con coefficienti variabili. Consistenza, convergenza e stabilità dei metodi alle differenze finite per problemi ai valori iniziali. Teorema di equivalenza di Lax (enunciato). Equazione del calore in più dimensioni. Metodi a passi frazionari. Metodi Alternate Direction Implicit (ADI). 

Equazioni ellittiche. Metodo alle differenze finite per l’equazione di Poisson su griglie Cartesiane. Discretizzazione di tipo vertex-center e cell-center. Il problema delle condizioni al contorno (condizioni di Dirichlet e di Neumann) Metodi di tipo level set e ghost point  per il trattamento di geometrie arbitrarie. Medoto Multigrid per la risoluzione del relativo sistema algebrico sparso (cenni).

Equazioni iperboliche. Singola equazione scalare lineare. Il metodo delle caratteristiche.     

Metodi alle differenze finite. I metodi a tre punti: upwind, Lax-Friedrichs e Lax-Wendroff. Consistenza e stabilità. Condizione di Courant-Friedrichs-Lewy e dominio di dipendenza dai dati.     
Metodi del primo ordine e del secondo ordine. Equazione modificata, dissipazione e dispersione. Equazione di Burgers. Metodo delle caratteristiche. Soluzioni discontinue.

Oltre agli argomenti sopra elencati, durante il corso si svolgeranno esercitazioni in Matlab o in Python (utilizzando numpy) che illustrano l'implementazione di alcuni metodi di base. 

Nota bene. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Randall Le Veque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM 2007.

Un singolo libro per la trattazione di metodi alle differenze finite sia per equazioni differenzialo ordinarie che alle derivate parziali. Alcuni argomenti sulle EDP sono tratti da questo testo.

John Strickwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations Paperback – September 30, 2007.

Ottimo testo introduttivo sui metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali.

Robert D. Richtmyer, K. W. Morton, Difference methods for initial-value problems, Interscience Publishers, 1967 - 405 pages

Un classico testo, ancora validissimo per molti concetti di base
 

K. W. Morton and D. F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction, University of Oxford, UK, Second Edition

Una introduzione ai metodi numerici (principalmente alle differenze finite) per le equazioni differenziali della fisica matematica. 

Italiano.
L'esame viene verbalizzato insieme al modulo I di Analisi Numerica come un solo esame da 12 crediti.
Ciascun modulo consiste in un colloquio orale effettuato dopo la fine di ciascun corso.
La prova in itinere del corso da 12 crediti consiste nel superamento del modulo di Metodi Numerici per Equazioni Differenziali Ordinarie.
È a discrezione dello studente sostenere i due moduli insieme o separatamente.  

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

English. 
The exam is recorded together with the Numerical Analysis module I as a single 12-credit exam.
Each module consists of an oral interview carried out after the end of each course.
The midterm exam of the 12-credit course consists in passing the module of Numerical Methods for Ordinary Differential Equations.
It is at the student's discretion to take the two modules together or separately.

Learning assessment may also be carried out on line, should the conditions require it.

Italiano.

- Mi dimostri consistenza e stabilità del metodo Alternate Direction Implicit per l'equazione del calore.
- Come si impongono le condizioni al contorno nel metodo alle differenze finite per l'equzione di Poisson?
- Quel'è l'equazione modificata del metodo upwind per l'equazione di trasporto scalare in una dimensione spaziale?

English. 

- Analyse consistency and stability of the Alternate Direction Implicit method for the heat equation.
- How do you impose boundary conditions in the finite difference method for Poisson's equation?
- What is the modified equation of the upwind method for the scalar transport equation in one space dimension?