GEOMETRIA ALGEBRICA
Anno accademico 2017/2018 - 2° anno - Curriculum ACrediti: 9
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 152 di studio individuale, 49 di lezione frontale, 24 di esercitazione
Semestre: 1°
Obiettivi formativi
Il corso si prefigge una introduzione alle teorie e alle tecniche di base della Geometria Algebrica moderna.
Prerequisiti richiesti
Nessuno.
Fortemente consigliato: Istituzioni di Algebra Superiore.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata
Contenuti del corso
I) -- Richiami sugli spazi proiettivi, equazioni cartesiane e parametriche tramite dualità, spazio proiettivo duale. Sistemi lineari di ipersurperficie e applicazioni: ipersuperficie passanti per un numero fissato di punti. Complementi di geometria delle iperquadriche. Rette incidenti quattro rette generali nello spazio. Quadrica di Klein come spazio dei moduli delle rette dello spazio proiettivo. Rilettura di alcune proprietà delle rette tramite la geometria della Quadrica di Klein.
II) -- Insiemi algebrici affini e proiettivi. Topologia di Zariski sullo spazio affine e proiettivo. Corrispondenza tra insieme algebrici affini e ideali radicali di un anello di polinomi (campo algebricamente chiuso). Insiemi algebrici irriducibili e loro corrispondenza con gli ideali primi
di un anello di polinomi. Anello delle coordinate di una varietà affine e di una varietà proiettiva. Decomposizione di un insieme algebrico in componenti irriducibili e legami con la decomposizione primaria di un ideale. Dimensione di una varietà algebrica: versione topologica e algebrica.
III) -- Funzioni regolari su una varietà algebrica quasi-proiettiva: definizione e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Morfismi tra varietà: definizione e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Anello locale delle funzioni regolari su una varietà: definizioni e prime proprietà. Funzioni razionali su una varietà: definizione e prime proprietà. Applicazioni razionali (e birazionali) tra varietà: definizioni e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Corrispondenza tra applicazioni razionali dominanti e omomorfismi dei rispettivi campi di funzioni razionali. Funzioni regolari su una varietà proiettiva e applicazioni.
IV) -- Prodotto di varietà algebriche: proprietà universale, esistenza e unicità. Esempi e applicazioni: morfismo grafico, morfismo diagonale, decomposizione di un morfismo tramite morfismo grafico e proiezioni dal prodotto. Teorema Fondamentale della Teoria della Eliminazione. Esempi e applicazioni.
V) -- Punto non singolare di una varietà: definizione estrinseca e intrinseca. Luogo singolare. Scoppiamento di una varietà in un punto.
Cono tangente e spazio tangente a una varietà in un punto: definizioni intrinseche e estrinseche. Esempi e applicazioni. Definizione di molteplicità algebrica di un punto su una varietà. Confronto tra cono tangente e spazio tangente: criterio di non-singolarità.
VI) -- Teorema della Dimensione delle Fibre. Applicazioni. Criterio Irriducibilità. Applicazione allo studio delle rette su superficie in $\mathbb P^3$
con particolare riguardo al caso cubico. Varietà duale e Teorema di Bertini. Varietà di spazi plurisecanti: definizioni e esempi.
Mappa di Gauss: definizione e esempi.
VII) -- Intersezione negli spazi proiettivi. Dimensione intersezione di varietà proiettive. Grado di una varietà proiettiva: definizione geometrica e algebrica tramite Polinomio di Hilbert. Richiami su Annullatore e Primi Associati di un modulo graduato su un anello di polinomi. Molteplicità di un modulo lungo un primo minimale. Teorema di Hilbert-Serre e Polinomio di Hilbert di una varietà proiettiva. Teorema di Bèzout generalizzato e applicazioni. Definizione locale di molteplicità di intersezione e confronto con la molteplicità del modulo associato. Molteplicità di intersezione di curve piane: esempi e proprietà. Flessi di curve algebriche piane e curva hessiana. Esempi e applicazioni. Studio di alcune classi di punti singolari: punti multipli ordinari e loro risoluzione per scoppiamento. Singolarità non ordinarie e tacnodi.
Se il tempo lo consentirà verrano svolte anche parti del seguente modulo:
0) -- Prodotto tensoriale di spazi vettoriali su un campo: proprietà universale, esistenza e unicità. Vari teoremi di isomorfismo e relazioni con altre operazioni (somme dirette, dualità, etc, etc). Costruzione delle varietà di Segre e prime proprietà geometriche.
Applicazioni multilineari e prodotto tensoriale multiplo: proprietà universale e primi teoremi di isomorfismo. Algebra tensoriale di uno spazio vettoriale: proprietà universale, esistenza e unicità. Algebra tensoriale simmetrica di uno spazio vettoriale: proprietà universale, esistenza e unicità. Costruzione delle varietà di Veronese e prime proprietà geometriche.
Algebra tensoriale anti-simmetrica di uno spazio vettoriale: proprietà universale, esistenza e unicità. Determinante, Formule di Laplace e Binet generalizzate. Vettori decomponibili e varietà di Grassmann. Prodotto tensoriale di algebre su un campo: proprietà universale, esistenza e unicità. Esempi e applicazioni.
Testi di riferimento
00) M. C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin, Letture su curve, superficie e varietà proiettive speciali. Un' introduzione alla Geometria Algebrica, Bollati Boringhieri.
0) R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer Verlag.
1) W. Fulton, Algebraic Curves--An Introduction to Algebraic Geometry, http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf
2) I. Dolgachev, Classical Algebraic Geometry, http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/CAG.pdf
3) I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer-Verlag.
4) D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer Verlag.
Programmazione del corso
| * | Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|---|
| 1 | * | Richiami sugli spazi proiettivi. Sistemi lineari di ipersurperficie e applicazioni: ipersuperficie passanti per un numero fissato di punti. | 00) |
| 2 | * | Rette incidenti quattro rette generali nello spazio. Quadrica di Klein come spazio dei moduli delle rette dello spazio proiettivo. Rilettura di alcune proprietà delle rette tramite la geometria della Quadrica di Klein. | 00) e materiale integrativo |
| 3 | * | Insiemi algebrici affini e proiettivi. Topologia di Zariski sullo spazio affine e proiettivo. Corrispondenza tra insieme algebrici affini e ideali radicali di un anello di polinomi (campo algebricamente chiuso). | 0), 3) e 4) |
| 4 | * | Insiemi algebrici irriducibili e loro corrispondenza con gli ideali primi di un anello di polinomi. Anello delle coordinate di una varietà affine e di una varietà proiettiva. | 0), 3) e 4) |
| 5 | * | Decomposizione di un insieme algebrico in componenti irriducibili e legami con la decomposizione primaria di un ideale. Dimensione di una varietà algebrica: versione topologica e algebrica. | 0), 3) e 4) |
| 6 | * | Funzioni regolari su una varietà algebrica quasi-proiettiva: definizione e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Morfismi tra varietà: definizione e prime proprietà. Esempi e applicazioni. | 0), 3) e 4) |
| 7 | * | Anello locale delle funzioni regolari su una varietà: definizioni e prime proprietà. Funzioni razionali su una varietà: definizione e prime proprietà. Applicazioni razionali (e birazionali) tra varietà: definizioni e prime proprietà. | 0), 3) e 4) |
| 8 | * | Corrispondenza tra applicazioni razionali dominanti e omomorfismi dei rispettivi campi di funzioni razionali. Funzioni regolari su una varietà proiettiva e applicazioni. | 0), 3) e 4) |
| 9 | * | Prodotto di varietà algebriche: proprietà universale, esistenza e unicità. Morfismo grafico, morfismo diagonale, decomposizione di un morfismo tramite morfismo grafico e proiezioni dal prodotto. Teorema Fondamentale della Teoria dell' Eliminazione. | 0), 3) e 4) |
| 10 | * | Punto non singolare di una varietà: definizione estrinseca e intrinseca. Luogo singolare. Scoppiamento di una varietà in un punto. Cono tangente e spazio tangente a una varietà in un punto: definizioni intrinseche e estrinseche. | 0), 3) e 4) |
| 11 | * | Definizione di molteplicità algebrica di un punto su una varietà. Confronto tra cono tangente e spazio tangente: criterio di non-singolarità. | 0), 3) e 4) |
| 12 | * | Teorema della Dimensione delle Fibre. Applicazioni. Criterio Irriducibilità. Applicazione allo studio delle rette su superficie in $\mathbb P^3$ con particolare riguardo al caso cubico. | Materiale didattico |
| 13 | * | Varietà duale e Teorema di Bertini. Varietà di spazi plurisecanti: definizioni e esempi. Mappa di Gauss: definizione e esempi. | Materiale didattico |
| 14 | * | Intersezione negli spazi proiettivi. Dimensione intersezione di varietà proiettive. Grado di una varietà proiettiva: definizione geometrica e algebrica tramite Polinomio di Hilbert. | 0) e materiale didattico integrativo |
| 15 | * | Molteplicità di un modulo lungo un primo minimale. Teorema di Hilbert-Serre e Polinomio di Hilbert di una varietà proiettiva. Teorema di Bèzout generalizzato e applicazioni. | 0) e materiale didattico integrativo |
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Colloquio orale.
Durante il corso vengono assegnati degli esercizi, risolti in classe dagli studenti e che contribuiscono al voto finale di superamento del corso.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Le domande del colloquio orale riguardano tutto il programma del corso mentre gli esercizi assegnati frequentemente sono disponibili sul sito internet del corso:
http://www.dmi.unict.it/~frusso/DMI/Geometria_Algebrica.html