GEOMETRIA COMBINATORIA

L'insegnamento si propone di far acquisire agli studenti i metodi e le tecniche più moderne, nell'ambito delle teorie combinatorie più recenti. Scopo del corso è anche fornire conoscenze sui temi di ricerca attualmente più studiati nell'ambito della teoria degli ipergrafi e dei block-designs. Di tutti i temi studiati si danno ampi orientamenti di carattere applicativo.

Obbligatoria

1) Grafi, Ipergrafi, Quasigruppi: Concetti principali – Ipergrafi lineari, uniformi – Trasversali e Blocking sets – Congettura di Berge per gli ipergrafi lineari – Quasigruppi e quadrati latini – Quasigruppi idempotenti, semiidempotenti – Quasigruppi simmetrici – Trasversali nei quadrati latini – Esistenza di quasigruppi idempotenti – Esistenza di quasigruppi semiidempotenti.

2) Sistemi di Steiner: Introduzione storica degli S(h,k,v) – Casi particolari: h=1,h=k,k=v – Condizioni necessarie di esistenza – Casi di condizioni sufficienti – Sistemi S(h,k,v) risolubili – Problemi aperti – STS(v) e loro esistenza: costruzioni di Bose e di Skolem – Sistemi KTS(v) – Definizioni, teoremi e determinazione dello spettro per i sistemi S2(2,3,v), S3(2,3,v), S4(2,3,v), S5(2,3,v), S6(2,3,v) – Caso generale – Sistemi di terne ciclici: CSTS – Metodo delle differenze – Problema di Heffter e teorema di Peltesohn – S(2,4,v): condizioni necessarie (e sufficienti) di esistenza – SQS(v): condizioni necessarie (e sufficienti) di esistenza – Sistemi di quaterne risolubili – Il problema dei blocchi paralleli negli STS(v) e SQS(v) – Costruzioni varie di sistemi di Steiner STS(v), SQS(v), S(2,4,v), S(2,k,v) – Blocking sets nei sistemi di Steiner – Costruzione di SQS(v) aventi blocking sets – La congettura di Berge per gli S(2,k,v).

3) BIBD: Introduzione storica dei Block-Design – Teoremi – Disuguaglianza di Fisher – BIBD simmetrici, teoremi – Piani affini e piani proitettivi, teoremi – Teorema di Bruck-Chowla-Ryser.

4) G-Designs e Hypergraph-designs: G-decomposizioni tra grafi e G-decomposizioni di Kv – Definizioni, teoremi e determinazione dello spettro per: P3-designs, C4-designs, S4-designs, P4-designs, P5-designs, P6-designs – Caso dei (K3+e)-designs e dei (K4-e)-designs – G-Designs bilanciati – G-Designs fortemente bilanciati – G-designs perfetti: casi vari - Hypergraphs-designs: alcuni casi di costruzione di hyperpath-designs - Metodo della matrice delle differenze.

1) C. Berge: "Hypergraphs", North-Holland (1989)

2) C.C.Lindner-C.Rodger: "Design Theory", CRC Boca Raton (2007)

3) M.Gionfriddo, L.MIlazzo, V.Voloshin: "Hypergraphs and Designs", Nova Science Publishers, New York (2015)