ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2 O - Z

L'obiettivo di questo insegnamento è quello di ampliare le conoscenze di Analisi Matematica già apprese nel corso di EAM1 e di contribuire all'acquisizione dei fondamenti logico-matematici dell'Informatica. In particolare gli obiettivi, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

Conoscenza e capacità  di comprensione (knowledge and understanding): lo studente acquisirà alcuni strumenti matematici e scientifici di supporto alle competenze informatiche, in particolare apprenderà il calcolo integrale per le funzioni reali di una variabile, il calcolo differenziale per le funzioni di più variabili e  il carattere delle serie numeriche e di alcune serie di funzioni notevoli.

 Capacità  di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa. Sarà in grado di calcolare integrali indefiniti e definiti, di  riconoscere e confrontare le più comuni serie numeriche, di individuare le proprietà analitiche di una funzione di più variabili reali, di applicare le nozioni del calcolo differenziale ai problemi di ottimizzazione e di risolvere alcune equazioni differenziali utili all'elaborazione di modelli matematici.

Autonomia di giudizio ( Making judgements) Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e  a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previste  esercitazioni  guidate in cui gli studenti potranno confrontarsi criticamente,  discutere e  individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative ( Communication skills) La frequenza alle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente nell’utilizzo del linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni  lo studente apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

Capacità di apprendimento ( Learning skills) Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare,  anche attraverso  le esercitazioni,  sarà in grado di  approfondire  autonomamente le proprie conoscenze e di affrontare nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari  per la loro comprensione.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali. Per ogni argomento il docente svolgerà alcuni esercizi. Per sviluppare l’autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno delle esercitazioni guidate, in cui saranno proposti vari esercizi, anche a risposta multipla. Gli studenti potranno lavorare  singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

 Se necessario, le lezioni si svolgeranno da remoto.

Gli studenti con disabilità e/o DSA dovranno contattare con sufficiente anticipo rispetto alla data dell'esame il docente, il referente CInAP del DMI e il CInAP per comunicare che intendono sostenere l'esame fruendo delle opportune misure compensative (che saranno indicate dal CInAP).

Per potere frequentare le lezioni in modo proficuo è necessario avere almeno studiato la teoria delle successioni numeriche e il calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni di una variabile.

Per potere sostenere l'esame di EAM2 occorre in ogni caso avere già superato l'esame di EAM1.

La frequenza è di norma obbligatoria (cfr. Regolamento didattico del CdS). Per monitorare e perfezionare la propria preparazione, agli studenti si consiglia  fortemente di approfittare delle ore di ricevimento della docente.

Tutti gli avvisi relativi alle attività didattiche verranno pubblicati sul canale Teams "EAM2 2526" (codice Teams ir5xx88)  mentre il materiale didattico sarà reperibile sul portale Studium 2024/25 "Elementi di Analisi Matematica 2 (F-Z)". 

1. Funzioni reali di più variabili reali.

Limiti e continuità per una funzione di due o più variabili. Derivate parziali. Differenziabilità.

Ricerca degli estremi assoluti e relativi.

2. Integrazione indefinita e definita secondo Riemann.

Primitive. Integrale indefinito e sue proprietà. Metodi di integrazione indefinita. Integrali di particolari classi di funzioni. Cenni sulla misura secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann e sue proprietà. Funzione integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale.

3.  Equazioni differenziali. 

Generalità. Problema di Cauchy. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni lineari. Metodi risolutivi per le equazioni lineari a coefficienti costanti.

4. Serie numeriche e cenni sulle serie di funzioni.

Generalità sulle serie numeriche. Serie a termini di segno costante. Serie assolutamente convergenti. Serie a segni alterni. Proprietà commutativa. Cenni sulle serie di potenze. Sviluppo in serie di alcune funzioni elementari.

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Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni. Sul diario delle lezioni, aggiornato quotidianamente su Studium, si potrà conoscere in dettaglio quali argomenti sono stati trattati. Alla fine del corso sarà disponibile il programma dettagliato.

Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevolerà l’apprendimento.

 1. Appunti del docente. 

Sul portale Studium verranno pubblicate delle dispense che costituiscono il testo ufficiale del corso. Tali appunti sono destinati esclusivamente agli studenti del corso ed è vietato ogni altro utilizzo. 

2. Altro materiale fornito dal docente. 

Sul  portale Studium verranno pubblicati dei file contenenti esercizi sugli argomenti trattati nel corso.

Per  ulteriori esercizi si può consultare il libro 

3. P. Marcellini e C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. 1 parte  seconda e vol. 2  parte prima, ed. Liguori.

E' prevista una “prova intermedia” (nel seguito, P.I.), non obbligatoria, che si svolgerà nel periodo dedicato alle prove intermedie (primi giorni di dicembre) e riguarderà i primi due capitoli. Per partecipare alla P.I. è necessario prenotarsi su SmartEdu. 

La P.I. si svolgerà esclusivamente in aula e avrà una durata di novanta minuti, consisterà in un elaborato scritto composto da un quesito teorico e un esercizio tecnico. La P.I. si intende superata se sono state svolte con un sufficiente margine di correttezza entrambe le parti. Entro pochi giorni dalla prova sarà comunicato l’esito, consistente in un voto (da 18 a 30 e lode) o il giudizio “non superato”. 

PROVA FINALE:

a) Gli studenti che hanno superato la P.I. sosterranno la prova finale solo sugli ultimi due capitoli, in un appello a loro scelta entro la terza sessione (settembre 2026). La prova prevederà lo svolgimento di un esercizio (quindici minuti) e, subito dopo, un colloquio orale (quindici minuti). Il  voto finale terrà conto anche dell'esito della P.I.

b) Gli studenti che non hanno sostenuto o non hanno superato la P.I. sosterranno l'esame finale su tutto il programma in uno qualunque degli appelli disponibili. Esso è strutturato nel seguente modo: il giorno dell’appello si svolge una prova scritta consistente in un massimo di tre esercizi tecnici, per superare la prova il candidato deve svolgere almeno il 60% del compito con un sufficiente margine di correttezza. La durata della prova è di novanta minuti. Nei giorni immediatamente successivi sarà comunicato via mail agli interessati l'esito “superato” o “non superato” e verrà data comunicazione del giorno della successiva convocazione. In tale giorno tutti i candidati prenderanno visione del loro elaborato scritto. La mancata presenza a tale convocazione equivale alla rinuncia all’esame e sarà verbalizzata con l’annotazione “ritirato”.

Coloro che hanno superato la prova scritta potranno scegliere di sostenere la prova orale subito o nell’appello successivo.  

La prova orale consiste in un colloquio della durata massima di quindici minuti ed ha lo scopo di verificare non solo l’acquisizione dei contenuti ma anche la capacità di collegarli criticamente e l’abilità espositiva.

La verifica finale dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, essa consisterà in un colloquio orale, della durata massima di 30 minuti, comprendente sia domande di teoria sia lo svolgimento di qualche esercizio.

In ogni caso, le P.C. non potranno essere svolte per via telematica.

Per partecipare alla P.I. e all'esame finale è necessario avere effettuato la prenotazione sul portale SmartEdu. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica.

Gli studenti con disabilità e/o DSA dovranno contattare con sufficiente anticipo rispetto alla data dell'esame il docente, il referente CInAP del DMI e il CInAP per comunicare che intendono sostenere l'esame fruendo delle opportune misure compensative (che saranno indicate dal CInAP).

Durante le prove scritte è vietato, pena l'annullamento della prova, l'uso di qualsiasi dispositivo elettronico o cartaceo (fatte salve le eventuali misure compensative previste per gli studenti iscritti al CInAP), è altresì vietata la collaborazione fra i candidati.

Per l'attribuzione del voto delle singole prove (P.C. e finale) si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

Per le prove scritte, gli esempi si trovano sul portale Studium: basta fare riferimento al corso dell'anno precedente. Durante la prova orale generalmente ci sarà una domanda per ogni capitolo,  ma sarà richiesta una sola dimostrazione. Esempi:

. Criterio di Leibniz con dimostrazione

- Assoluta convergenza di una serie ed esempi

-Esistenza delle derivate direzionali con dimostrazione

- Legame fra continuità, derivabilità e differenziabilità, con esempi

- Integrale indefinito e integrale definito: differenza e legame fra i due concetti

- Teorema sull'esistenza dell'integrale di Riemann per le funzioni continue, con dimostrazione

- Esistenza di due soluzioni indipendenti per un'equazione differenziale lineare omogenea, con dimostrazione

Struttura dell'insieme delle soluzioni di  un'equazione differenziale lineare omogenea