MATEMATICA DISCRETA M - Z

1. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): L’obiettivo del corso è quello di dare le nozioni di base dell’algebra lineare, della geometria analitica, della teoria dei numeri e della combinatorica che servono per interpretare e descrivere i problemi nelle discipline informatiche.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente acquisirà le competenze necessarie per affrontare problematiche tipiche della matematica discreta, risolvendo problemi classici in cui è richiesta l’applicazione di tecniche standard.
3. Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente sarà in grado di elaborare autonomamente soluzioni ai principali problemi oggetto del corso scegliendo la strategia più conveniente sulla base dei risultati appresi.
4. Abilità comunicative (communication skills): lo studente acquisirà le necessarie abilità comunicative acquisendo il linguaggio specifico della matematica discreta.
5. Capacità di apprendimento (learning skills): il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente il metodo di studio, la forma mentis e il rigore logico che gli saranno necessari per poter affrontare e risolvere autonomamente nuove problematiche che dovessero sorgere durante una attività lavorativa.

È essenziale avere buona conoscenza degli elementi di base dell'Aritmetica, dell'Algebra Elementare, della Geometria Euclidea nel piano e nello spazio, della Geometria Analitica del piano e della Trigonometria.

Le risorse principali messe a disposizione dello studente sono le lezioni frontali tutte condotte alla lavagna in aula, la cui frequenza è fortemente consigliata.

PARTE A

1. Preliminari. Insiemi ed operazioni tra di essi *. Applicazioni *. Relazioni. Relazioni di equivalenza e di ordinamento parziali *. Cardinalità di un insieme*. Operazioni algebriche binarie*. Strutture algebriche: gruppi, campi*.

2. Teoria dei numeri. Numeri naturali *. Numeri interi relativi *. Principi di induzione*. Teorema di divisione*. Massimo comune divisore (M.C.D.) e minimo comune multiplo (m.c.m.)*. Sistemi di numerazione*.Congruenze*. Equazioni di congruenze*. Sistemi di congruenze e teorema cinese del resto*. Teorema di Fermat*. Applicazioni alla crittografia*.

3. Calcolo combinatorio*. Regola del prodotto e regola della somma*. Permutazioni, combinazioni,disposizioni (semplici e con ripetizione)*. Formula di Stifel e identità di Vandermonde*. Binomio di Newton*. Distribuzione di n biglie in k urne*. Numero di Stirling di seconda specie*. Principio di inclusione ed esclusione*. Grafi: definizioni ed esempi. Rappresentazioni di un grafo*. Alberi *.

4. Probabilità discreta. Definizione di probabilità *. Probabilità uniforme e relative proprietà *. Probabilità condizionale*. Indipendenza stocastica*.

5. Calcolo matriciale e sistemi lineari*. Matrici. Operazioni tra matrici *. Matrici notevoli *. Sistemi lineari *. Calcolo della matrice inversa *. Determinante di una matrice quadrata e relative proprietà*. Rango di una matrice *. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli *.

PARTE B

1. Calcolo vettoriale. Vettori applicati *. Teorema di scomposizione *. Prodotto scalare e prodotto vettoriale*. Prodotto misto *. Vettori liberi *.

2. Geometria lineare nel piano. Rette nel piano e loro equazioni *. Parallelismo e ortogonalità *. Intersezione mfra rette *. Coordinate omogenee nel piano *. Fasci di rette *.

3. Isometrie piane *. Traslazione, rotazione attorno ad un punto *. Riflessione rispetto ad una retta *.

4. Geometria lineare nello spazio. Piani e rette nello spazio e loro equazioni *. Parallelismo e ortogonalità *. Intersezione tra piani, tra un piano e una retta e tra rette *. Coordinate omogenee nello spazio *. Punti e rette improprie nello spazio*. Fasci di piani *.

5. Spazi vettoriali. Definizione di spazio vettoriale*. Sottospazi vettoriali e operazioni tra di essi *. Sottospazio somma *. Lineare indipendenza e lineare dipendenza*. Basi di uno spazio vettoriale *. Dimensione di uno spazio vettoriale *. Basi ordinate di uno spazio vettoriale *.

6. Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare *. Nucleo e immagine di una applicazione lineare *. Proprietà delle applicazioni lineari *. Rango di una applicazione lineare *. Cambiamenti di base *. Formule di trasformazione delle componenti *. Matrici associate ad una applicazione lineare *. Matrici simili *. Autovalori e autovettori *. Polinomio caratteristico *. Ricerca degli autovalori e degli autospazi ad essi associati *. Endomorfismi semplici *. Matrici diagonalizzabili *. Similitudine tra matrici *.

1. Appunti in rete alla pagina web https://andreascapellato.wordpress.com/didattica-2/
2. S. Giuffrida, A. Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Il Cigno Galileo Galilei Roma.
3. G. Paxia, Lezioni di Geometria, Cooperativa Universitaria Libraria Catanese.
4. K.H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, Mc Graw Hill.