ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 1 A - L

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, le successioni e le serie numeriche, i limiti e le derivate per le funzioni di una variabile.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'Analisi Matematica per affinare le capacità logiche. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per coinvolgere gli studenti e stimolarli a raggiungere da soli l'obiettivo.

Abilità comunicative (communication skills): studiando l'Analisi Matematica, e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate e i seminari, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico, non solo in ambito matematico.

Capacità di apprendimento (learning skills): gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.

I prerequisiti sono quelli richiesti per l'accesso al Corso di Studi

La frequenza è obbligatoria.

Il programma dettagliato sarà pubblicato alla fine del corso.

Gli argomenti trattati sono:

- l'insieme dei numeri reali e la sua struttura

- generalità sulle funzioni reali di una variabile reale

- successioni e serie numeriche

- limiti di funzioni reali di una variabile reale

-funzioni continue

- calcolo differenziale per le funzioni reali di una variabile reale, e sue applicazioni

-cenni sui numeri complessi (se la trattazione degli altri argomenti richiederà più tempo del previsto, quest'argomento non sarà svolto)

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni.

Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.

Per la teoria:

1 . P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica, vol. I ed. Liguori.

Per gli esercizi:

1. M.Bramanti:Esercizi di Analisi Matematica 1, Esculapio

2. P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Analisi 1, Vol.1, Parte 1 e 2, Liguori.

L'esame consiste in una prova scritta, composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla

B) esercizi tecnici

Per superare la prova il candidato dovrà avere riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.

Coloro che volessero migliorare il voto potranno chiedere di sostenere un colloquio orale, che potrà essere svolto entro la sessione in cui è stata svolta la prova scritta, finalizzato soprattutto a valutare la padronanza degli argomenti e le capacità espositive. La commissione potrà riservarsi di convocare per un colloquio orale anche gli studenti che nella provascritta abbiano riportato un risultato di poco inferiore alla sufficienza.

ESEMPIO DI PROVA SCRITTA:

Parte A (Teoria)
T1 Rispondere ad almeno una delle seguenti domande.
 i) Dare la definizione di massimo e minimo assoluto ed enunciare il teorema di Weierstrass.
 ii) Se una funzione f è dotata di massimo assoluto, quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?
 - f è costante
 - f è limitata superiormente
 - f è continua
 - f è derivabile
 - f ha anche il minimo assoluto
T2 Enunciare e dimostrare almeno uno dei seguenti teoremi.
 i) Teorema di Fermat.
 ii) Sia f : (a; b) --> R una funzione derivabile e tale che f'(x) > 0 per ogni x in (a; b). Dimostrare che f è crescente nell'intervallo (a; b).
T3 Rispondere ad almeno una delle seguenti domande.
 i) Sia f : (a; b) --> R. Si dice che f è crescente nell'intervallo (a; b) se ...(completare). Si dice che f è invertibile in (a; b) se ... (completare).
Stabilire quale relazione c'è fra crescenza e invertibilità di una funzione in un intervallo, giustificando la risposta con la dimostrazione o mediante un controesempio.
 ii) Dire quando una serie numerica è assolutamente convergente e quale relazione c'è fra convergenza semplice e assoluta, giustificando la risposta con la dimostrazione o mediante un controesempio.

Parte B (Esercizi): essa è costituita da due coppie di esercizi tecnici (eventualmente a risposta multipla) aventi livelli diversi; lo studente dovrà svolgere un esercizio per ciascuna delle due coppie. Un esempio sarà pubblicato su Studium.