ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2 A - L

L'obiettivo di questo insegnamento è quello di ampliare le conoscenze di Analisi Matematica già acquisite nel corso di Elementi di Analisi Mathematica 1. In particolare gli obiettivi, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà il calcolo integrale per le funzioni reali di un variabile, il calcolo differenziale per le funzioni di più variabili e il carattere delle serie numeriche e serie di funzioni.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa. Sarà in grado di calcolare integrali indefiniti e definiti, di riconoscere e confrontare le più comuni serie numeriche, di individuare le proprietà analitiche di una funzione di più variabili reali e di applicare le nozioni del calcolo differenziale ai problemi di ottimizzazione.

Autonomia di giudizio ( Making judgements) Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previsti seminari in cui gli studenti illustreranno gli argomenti studiati ed esercitazioni guidate in cui gli studenti potranno confrontarsi criticamente, discutere e individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative ( Communication skills) La frequenza alle lezioni e la lettura di libri consigliati aiuteranno lo studente nell’utilizzo del linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni e i seminari lo studente apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. . Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

Capacità di apprendimento ( Learning skills) Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare, e anche attraverso la preparazione dei seminari e delle esercitazioni, sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze e di affrontare nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali. Per ogni argomento il docente svolgerà alcuni esercizi alla lavagna. Per sviluppare l’autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno delle esercitazioni guidate, in cui saranno proposti vari esercizi, anche a risposta multipla. Gli studenti potranno lavorare singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

Il corso è affiancato da attività didattiche integrative, svolte da tutor, in occasione delle quali gli studenti potranno mettersi alla prova svolgendo esercizi ed esponendo parti del programma .

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Per potere frequentare le lezioni in modo proficuo è necessario avere almeno studiato la teoria delle successioni numeriche e il calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni di una variabile.

Per potere sostenere l'esame occorre in ogni caso avere già superato l'esame di Elementi di Analisi Matematica 1.

La frequenza è obbligatoria (cfr. Regolamento didattico del CdS). Per monitorare e perfezionare la propria preparazione, agli studenti si consiglia fortemente di frequentare anche le attività integrative e di approfittare delle ore di ricevimento del docente.

1. Integrazione indefinita e definita.

Primitive. Integrale indefinito e sue proprietà. Metodi di integrazione indefinita Integrali di particolari classi di funzioni. Cenni sulla misura secondo Peano-Jordan.Funzioni integrabili secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale definito.Funzione integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri.

2. Equazioni differenziali.

Generalità. Problema di Cauchy. Equazioni del primo ordine a

variabili separabili. Equazioni lineari. Metodi risolutivi per le equazioni lineari a coefficienti costanti.

3. Funzioni reali di più variabili reali.

Limiti e continuità per una funzione di due o più variabili. Derivate parziali. Differenziabilità.

Ricerca degli estremi assoluti e relativi.

4. Serie numeriche e cenni sulle serie di funzioni.

Generalità sulle serie numeriche. Serie a termini di segno costante. Serie assolutamente convergenti. Serie a segni alterni. Proprietà commutativa. Cenni sulle serie di potenze. Sviluppo in serie di alcune funzioni elementari.

Il programma dettagliato sarà disponibile alla fine del corso.

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni. Sul diario delle lezioni aggiornato su Studium si potrà conoscere in dettaglio quali argomenti sono stati trattati. Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.

1. P.Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica uno, Zanichelli.

2. P.Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. 1, parte seconda e Vol. 2 parte prima, Zanichelli.

Alla fine della trattazione di ciascuno dei quattro capitoli che compongono il programma è prevista una “prova capitolo” (nel seguito, P.C.), non obbligatoria; essa si svolgerà esclusivamente in aula e avrà una durata di 90 minuti, consisterà in un elaborato scritto composto da due quesiti teorici, anche a risposta multipla (di norma, uno con dimostrazione e uno senza) e due esercizi tecnici. L’elaborato sarà valutato con un voto da 18 a 30 e lode. Gli studenti che superano tutte le quattro P.C. acquisiranno automaticamente i CFU relativi all’insegnamento, con il voto dato di norma dalla media aritmetica dei voti riportati nelle quattro prove. La verbalizzazione potrà avvenire previa prenotazione per il primo appello utile. In tale occasione, i candidati potranno chiedere di essere sottoposti ad un breve colloquio orale per migliorare il voto, ma in tal caso il voto finale potrebbe anche peggiorare. Gli studenti che superano almeno due prove potranno sostenere l’esame finale nella prima sessione (febbraio/marzo) sulla parte del programma relativa alle P.C. non superate. Se sceglieranno di presentarsi nelle sessioni successive, dovranno sostenere l’esame su tutto il programma. Tutti gli altri (ovvero, coloro che hanno superato solo una o nessuna P.C.) sosterranno l’esame su tutto il programma in uno qualunque degli appelli disponibili.

L’esame finale consiste in un elaborato scritto composto da due parti:

T) quesiti teorici, anche a risposta multipla

E) esercizi tecnici

Per superare la prova il candidato dovrà avere ottenuto, in ciascuna delle parti T ed E, un punteggio da 9 a 15 trentesimi. La valutazione della prova è, tuttavia, globale e tiene conto anche dell’esposizione corretta e dell’assenza di gravi errori concettuali.

Entro pochi giorni dalla prova, sarà comunicato l’esito, consistente in un voto (da 18 a 30 e lode) o il giudizio “non superato”. Coloro che hanno superato la prova possono chiedere di essere sottoposti ad un breve colloquio orale per provare a migliorare il voto ottenuto allo scritto, ma in tal caso il voto finale potrebbe anche peggiorare. Il docente potrà riservarsi di sottoporre ad un colloquio integrativo anche quegli studenti che abbiano riportato, nella prova scritta, un esito di poco inferiore alla sufficienza.

La verifica finale dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, essa consisterà in un colloquio orale, della durata massima di 30 minuti, comprendente sia domande di teoria sia lo svolgimento di qualche esercizio.

In ogni caso, le P.C. non potranno essere svolte per via telematica.

Per partecipare a qualunque prova (P.C. o esame finale) è necessario avere effettuato la prenotazione online.

Su Studium verrà pubblicato un esempio di compito..