ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 1 M - Z

Gli studenti devono essere capaci di studiare proprietà qualitative e quantitative di funzioni di una variabile. Sapere disegnare il grafico di una funzione motivandolo in base alle informazioni teoriche acquisite. Gli studenti vengono preparati ad utilizzare in modo efficace il calcolo differenziale per le funzioni reali. Vengono inoltre fornite le necessarie competenze per affrontare in modo efficace il successivo corso di Analisi Matematica II.

Obiettivi formativi generali dell'insegnamento in termini di risultati di apprendimento attesi.

1. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): l'obiettivo del corso è quello di far acquisire i fondamenti teorici ed alcuni applicazioni riguardanti il Calcolo Differenziale per funzioni di una variabile reale.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente acquisirà le competenze necessarie per studiare semplici modelli.
3. Autonomia di giudizio (making judgements): Attraverso esempi concreti ed esercizi lo studente sarà in grado di elaborare autonomamente proprie soluzioni ad alcuni semplici problemi.
4. Abilità comunicative (communication skills): lo studente acquisirà ulteriori abilità comunicative e di appropriatezza espressiva nell'impiego del linguaggio teorico nell'ambito generale dell'Analisi Matematica.
5. Capacità di apprendimento (learning skills): il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente le necessarie metodologie teoriche e pratiche per poter affrontare e risolvere autonomamente problematiche che dovessero sorgere durante l'attività progettuale.

Le lezioni sono in larghissima parte di tipo frontale. In questo corso lo studente deve acquisire il rigore logico tipico dell'insegnamento e ciò viene fatto attraverso la proposizione di problemi e risultati che vengono poi discussi in aula.

Nessuno in particolare.

Vivamente consigliata.

1. Sistemi numerici.* Insiemi ordinati. Campi e campi ordinati. Il campo dei numeri reali. Radici, potenze e logaritmi nel campo dei numeri reali. Il sistema esteso dei numeri reali. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Radici di un numero complesso
2. Limiti delle funzioni di una variabile reale. Cenni di topologia in R. Funzioni reali. Concetto di limite. Teoremi di unicità, di permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Funzioni monotone e loro limiti. Successioni. Caratterizzazione del limite mediante le successioni. Criterio di Cauchy di convergenza per le successioni*. Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Confronto locale tra funzioni. Simboli di Landau e applicazione al calcolo dei limiti.
3. Funzioni Continue. Definizione. Continuità e operazioni. Continuità di funzioni elementari, composte e inverse*. Caratterizzazione della continuità mediante le successioni. Punti Singolari. Singolarità delle funzioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Darboux sui valori intermedi.
4. Calcolo Differenziale. Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange. Caratterizzazione della monotonia per funzioni derivabili in un intervallo. Funzioni a derivata identicamente nulla. Teoremi di De l’Hôpital. Formula di Taylor. Funzioni convesse in un intervallo. Successioni ricorsive. Risoluzione numerica di equazioni: Metodo di Newton e Metodo delle corde.

1. G.Di Fazio - P.Zamboni Analisi Matematica Uno - seconda edizione – Monduzzi (2013)
2. G. Di Fazio - P. Zamboni Esercizi di Analisi Matematica Uno – Edises (2013).
3. S. Motta, M.A. Ragusa – Metodi e Modelli Matematici – Libreria CULC (2011).
4. S. Motta, M.A. Ragusa, A. Scapellato – Metodi e Modelli Matematici. Esercizi e Complementi – Libreria CULC (2013).
5. M. Bramanti – Esercitazioni di Analisi Matematica 1 – Ed. Esculapio (2011).

La verifica dell'apprendimento viene effettuata in modalità scritta. Per ulteriori dettagli si consulti la pagina

http://www.dmi.unict.it/~difazio/informatica/regole-esami.html

http://www.dmi.unict.it/~difazio/informatica/AN-I/compiti/