ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 1 A - L

Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, i limiti e le derivate per le funzioni di una variabile.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'Analisi Matematica per affinare le capacità logiche. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per coinvolgere gli studenti e stimolarli a raggiungere da soli l'obiettivo.

Abilità comunicative (communication skills): studiando l'Analisi Matematica, e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate e i seminari, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico, non solo in ambito matematico.

Capacità di apprendimento (learning skills): gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.

Lezioni frontali.

Conoscenze di base di aritmetica, algebra, geometria analitica, trigonometria.

Fortemente consigliata.

1. Sistemi numerici.* Insiemi ordinati. Campi e campi ordinati. Il campo dei numeri reali. Radici, potenze e logaritmi nel campo dei numeri reali. Il sistema esteso dei numeri reali. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Radici di un numero complesso.
2. Limiti delle funzioni di una variabile reale. Cenni di topologia in R. Funzioni reali. Concetto di limite. Teoremi di unicità, di permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Funzioni monotone e loro limiti. Successioni. Caratterizzazione del limite mediante le successioni. Criterio di Cauchy di convergenza per le successioni*. Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Confronto locale tra funzioni. Simboli di Landau e applicazione al calcolo dei limiti.
3. Funzioni Continue. Definizione. Continuità e operazioni. Continuità di funzioni elementari, composte e inverse*. Caratterizzazione della continuità mediante le successioni. Punti Singolari. Singolarità delle funzioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Darboux sui valori intermedi.
4. Calcolo Differenziale. Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange. Caratterizzazione della monotonia per funzioni derivabili in un intervallo. Funzioni a derivata identicamente nulla. Teoremi di De l’Hôpital. Formula di Taylor. Funzioni convesse in un intervallo. Successioni ricorsive. Risoluzione numerica di equazioni: Metodo di Newton e Metodo delle corde.

Le dimostrazioni relative ai capitoli e agli argomenti contrassegnati con * sono facoltative.

Testi consigliati per la teoria

1. S. Motta, M.A. Ragusa – Metodi e Modelli Matematici – Libreria CULC (2011).
2. G. Di Fazio, P. Zamboni – Analisi Matematica Uno – Seconda Edizione, Monduzzi (2013).

Testi consigliati per le esercitazioni

1. S. Motta, M.A. Ragusa, A. Scapellato – Metodi e Modelli Matematici. Esercizi e Complementi – Libreria CULC (2013).
2. G. Di Fazio, P. Zamboni – Esercizi di Analisi Matematica Uno – Edises (2013).
3. M. Bramanti – Esercitazioni di Analisi Matematica 1 – Ed. Esculapio (2011).

L'apprendimento medio degli studenti verrà valutato periodicamente tramite esercitazioni guidate in aula. L'esame finale consiste di una prova scritta e di un colloquio. Al colloquio si accede una volta superata la prova scritta. Sia la prova scritta che il colloquio verranno valutati in trentesimi. La valutazione della prova scritta incide parzialmente sulla formulazione del voto finale. La registrazione dell'esame avrà luogo solo dopo il superamento del colloquio.

Estremi di un insieme numerico; numeri complessi e loro proprietà; varie definizioni di limite; teoremi sui limiti di funzioni; funzioni continue e loro proprietà; funzioni derivabili e loro proprietà; teoremi fondamentali del calcolo differenziale; formula di Taylor e sue applicazioni.