ANALISI FUNZIONALE

Lo scopo principale del corso è fornire le basi di Analisi Funzionale. Si presenteranno strutture più ampie rispetto a quelle che lo studente già conosce dagli studi precedenti,  quali gli spazi vettoriali topologici e  gli spazi localmente convessi. Sarà fatto uno studio  approfondito degli spazi di Banach e degli operatori tra spazi di Banach.  Saranno presentate le topologie deboli e classi di spazi di Banach particolarmente importanti: gli spazi riflessivi e gli spazi di Hilbert. Inoltre saranno presentati  cenni sugli  spazi di Sobolev.

Nel dettaglio, declinati secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

 Lo studente conoscerà i concetti fondamentali e i teoremi classici dell'Analisi Funzionale e  alcune importanti classi di spazi,  quali gli spazi riflessivi,  di Hilbert e di Sobolev.  Imparerà ad operare negli spazi vettoriali topologici e con gli operatori lineari e continui tra di essi e  ad usare le topologie deboli.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

Lo studente sarà in grado  di applicare i risultati generali appresi alla risoluzione di alcuni esercizi teorici e/o  tecnici.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente verrà stimolato a studiare autonomamente alcuni risultati non sviluppati durante le lezioni e ad esporli in un seminario.

Abilità comunicative (communication skills): lo studente imparerà ad esporre i contenuti del corso in maniera chiara, puntuale e sintetica,  con rigore e spirito critico.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà in grado di riflettere sulle dimostrazioni e di padroneggiare alcune tecniche che possono essere utili per affrontare altri  problemi. 

È utile  che lo studente conosca i principali argomenti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, con particolare riferimento alla  Teoria della misura e integrazione secondo Lebesgue e agli spazi L^p.

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.  (see Regolamento didattico del Corso di studi)

Spazi vettoriali topologici. Definizione e caratterizzazione degli spazi vettoriali topologici. Caratterizzazione
degli spazi vettoriali topologici di Hausdorff. Spazi vettoriali topologici localmente
convessi e loro caratterizzazione. Topologia della convergenza uniforme sui compatti dello spazio C(S) con S aperto di  Rⁿ. Topologia vettoriale non localmente convessa sullo spazio C([0,1]). Metrizzabilità degli spazi localmente convessi. Normabilità di uno spazio vettoriale topologico. Spazi normati. Spazi di Banach. Spazi vettoriali topologici di Hausdorff aventi dimensione finita. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato.  Funzionale di Minkowski. Teorema di Hahn-Banach e suoi corollari. Teoremi di separazione.

Operatori e funzionali lineari. Vari criteri di continuità per operatori e funzionali lineari. Lo spazio degli operatorilineari e continui tra due spazi normati. Il teorema della Mappa aperta ed applicazioni. Il teorema del grafico chiuso. Il principiodell'uniforme limitatezza. Il teorema di Banach-Steinhaus.

Topologie deboli. La topologia debole di uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff  localmente convesso.
Coincidenza della chiusura convessa e della chiusura convessa debole di un insieme.
Teorema di Mazur. Minimizzazione dei funzionali quasi convessi semicontinui inferiormente
su insiemi debolmente compatti. Confronto tra la topologia forte,
la topologia debole e la topologia debole stella nel duale topologico di uno spazio normato.
Teorema di Krein-Smulyan. Teorema di Eberlein-Smulyan. Caratterizzazione della finito-dimensionalità di uno spazio normato mediante
la coincidenza della topologia forte e della topologia debole. Il teorema di Banach Alaoglu. Il teorema di Goldstine.

Spazi di Banach riflessivi. Le caratterizzazioni di Kakutani e di James degli spazi di Banach riflessivi. Caratterizzazione degli spazi di Banach riflessivi e separabili. Metrizzabilità degli insiemi debolmente compatti
negli spazi normati separabili. Separabilità e topologie deboli. Spazi uniformementi convessi. Teorema di Milman-Pettis.

Spazi di Hilbert.  Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Caratterizzazione delle
norme pre-hilbertiane. Spazi di Hilbert. Teorema della proiezione. Rappresentazione di uno spazio di Hilbert come
somma diretta di un suo sottospazio vettoriale chiuso e del complemento ortogonale di
questo. Il teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari e continui negli
spazi di Hilbert. Teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram. Insiemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di basi ortonormali per gli spazi di Hilbert separabili.

Spazi di Sobolev. Derivate deboli. Lo spazio W^1,p: definizione e proprietà. Caratterizzazione delle funzioni di W^1,p. Teoremi di immersione. Teorema di Rellich-Kondrachov. Lo spazio W₀^1,p. Formulazione variazionale di problemi ai limiti.

1. H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev spaces and Partial Differential Equations, Springer

 2.  L. V. Kantorovich, G. P. Akilov, Analisi funzionale, Editori Riuniti.

3. R.Megginson An Introduction to Banach space Theory, Springer

4.  H.H. Schaefer, Topological Vector spaces, Springer

L'esame consiste in una prova orale. Lo studente esporrà alcuni teoremi del programma e mostrerà la capacità di saper collegare i contenuti del corso.

Le domande di seguito riportate non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi.

1. Teorema di Hahn Banach versione geometrica e teoremi di separazione

2. Spazi riflessivi e caratterizzazione

3. Esempio di spazio topologico non localmente convesso.

4. Spazi di Hilbert. Proiezione su un convesso chiuso.