ANALISI MATEMATICA 1 PARTE A

Conoscenza e capacità di comprensione

Il corso fornisce le conoscenze di base del calcolo infinitesimale delle funzioni di una variabile e contribuisce all'acquisizione di capacità di ragionamento induttivo e deduttivo. Lo studente apprenderà i concetti matematici fondamentali e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, le successioni e le serie numeriche, i limiti delle funzioni di una variabile.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nella modellizzazione matematica di problemi classici derivanti da altri ambiti scientifici.

Autonomia di giudizio

Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previsti seminari per illustrare gli argomenti studiati ed esercitazioni in cui gli studenti potranno confrontarsi criticamente tra loro, per discutere e individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative

La frequenza alle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni e i seminari apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

Capacità di apprendimento

Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare, attraverso le esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Il corso è articolato in 9 CFU di cui 6 CFU (42 ore) dedicati alle lezioni frontali e 3 CFU (36 ore) dedicati alle esercitazioni.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali (Didattica Erogativa). Per ogni argomento il docente svolgerà un congruo numero di esercitazioni. Per sviluppare l'autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno esercitazioni guidate (Didattica Interattiva), in cui saranno proposti vari esercizi. Gli studenti potranno lavorare singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

Potenziamento in itinere (Trigonometria)

Nell'ambito delle attività di esercitazione è previsto un modulo di potenziamento in itinere, della durata di 5 ore aggiuntive rispetto al monte ore ordinario, dedicato al consolidamento delle competenze di trigonometria richieste tra i prerequisiti del corso (proprietà delle funzioni goniometriche, risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche). Il modulo è rivolto in particolare agli studenti che presentano lacune su tali argomenti e si svolge attraverso esercitazioni guidate in aula.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto sopra dichiarato, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel presente syllabus.

Lo studente deve possedere le conoscenze matematiche specifiche fornite da quasi tutti i percorsi formativi secondari, comprendenti le nozioni di base di aritmetica, algebra, geometria euclidea e analitica, trigonometria, nonché di logica e comprensione verbale. In particolare, si richiede che lo studente:

•     sappia operare con gli insiemi

•     conosca gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali

•     conosca la definizione e le principali proprietà delle funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche

•     sia in grado di applicare le proprietà algebriche e di monotonia delle funzioni fondamentali per la risoluzione di semplici equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche

Per gli studenti che presentano lacune sui prerequisiti di trigonometria è previsto un modulo di potenziamento in itinere (vedi sezione MS).

La frequenza è fortemente consigliata. Per monitorare e perfezionare la propria preparazione, agli studenti si consiglia fortemente di frequentare anche le attività integrative e di approfittare delle ore di ricevimento del docente.

1.   Cenni di teoria degli insiemi. Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni composte. Relazioni binarie. Relazione di equivalenza e di ordine. Insiemi ordinati.

2.   Insiemi numerici. L'insieme dei numeri naturali. Principio di induzione. Numeri interi relativi. Numeri razionali. Esistenza di numeri irrazionali. L'insieme dei numeri reali: struttura algebrica, ordinamento, completezza. Valore assoluto. Potenza con esponente naturale e intero. Esistenza ed unicità della radice n-esima. Risolubilità dell'equazione xⁿ=a. Potenza con esponente razionale e reale. Logaritmi. Densità di ℚ e degli irrazionali in ℝ. Insiemi limitati, estremi di un insieme numerico. La retta ampliata, intervalli, intorni. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione. Insiemi aperti e chiusi. Teorema di Bolzano. L'insieme dei numeri complessi: forma algebrica, trigonometrica, potenze e radici.

3.   Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari e loro grafici qualitativi. Funzioni definite per casi. Ricerca del dominio.

4.   Limiti di funzioni e di successioni. Definizione di limite; limiti delle funzioni elementari; limiti di successioni; limiti laterali. Teoremi di unicità, permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti; forme indeterminate. Successioni limitate e loro estremi. Limite di funzioni e successioni monotone. Criterio del rapporto. Numero di Nepero. Limite della funzione composta. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Criterio di Cauchy. Massimo e minimo limite. Successione delle medie aritmetiche e geometriche. Insiemi sequenzialmente compatti. Infinitesimi ed infiniti. Asintoti.

5.   Funzioni continue. Definizione e proprietà. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Continuità delle funzioni monotone e invertibili; funzioni arcsen x, arccos x, arctan x. Continuità uniforme; teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane.

6.   Serie numeriche. Carattere di una serie; serie di Mengoli, geometrica, armonica, telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini non negativi: criteri del confronto, del rapporto, della radice, di Raabe, di condensazione. Serie armonica generalizzata; criterio degli infinitesimi. Serie assolutamente convergenti; serie esponenziale. Serie a segni alterni. Serie prodotto secondo Cauchy; proprietà commutativa e associativa.

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e saranno oggetto delle prove d'esame; per alcuni teoremi non sarà richiesta la dimostrazione.

1.   P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Zanichelli

2.   C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

3.   G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editore

4.   J. P. Cecconi, G. Stampacchia, Analisi Matematica, vol. 1, Liguori

5.   E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri

Per gli esercizi

6.   M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio

7.   T. Caponetto, G. Catania, Esercizi di Analisi Matematica 1, Culc

8.   P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. 1, Parte I e II, Liguori

9.   E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, vol. 1, Bollati Boringhieri

10. G. Di Fazio, P. Zamboni, Eserciziari per l'Ingegneria, EdiSES

La valutazione delle conoscenze viene effettuata tramite un ESAME FINALE, che prevede sempre un colloquio orale sull'intero programma svolto, con una prova scritta in forma completa o ridotta a seconda del superamento o meno della verifica in itinere descritta di seguito.

Durante la pausa didattica di dicembre si svolge una VERIFICA scritta, articolata in due parti: A) quesiti teorici, anche a risposta multipla; B) esercizi tecnici, sugli argomenti svolti fino a una data comunicata dal docente con congruo anticipo, in modo da lasciare agli studenti un adeguato periodo di ripasso prima della prova. La verifica si considera superata con una votazione ≥ 18/30 in ciascuna delle due parti.

Il superamento della verifica di dicembre esonera lo studente, in sede di esame finale, unicamente dallo svolgimento degli esercizi scritti relativi alla parte di programma oggetto della verifica: gli studenti esonerati sostengono una prova scritta ridotta (3 esercizi) sui restanti argomenti del programma. Il colloquio orale resta invece esteso all'intero programma svolto, compresa la parte teorica oggetto della verifica di dicembre, indipendentemente dall'esito di quest'ultima.

Gli studenti che non superano la verifica di dicembre sostengono l'esame finale nella sua forma completa: una prova scritta di 5 esercizi sull'intero programma, oltre al colloquio orale.

L'accesso al colloquio orale è in ogni caso subordinato al raggiungimento di una votazione ≥ 18/30 nella prova scritta corrispondente (completa o ridotta); il colloquio orale va sostenuto entro la stessa sessione della prova scritta. 

Per partecipare all'esame finale è necessario prenotarsi sul portale SmartEdu; per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica.

Criteri di attribuzione del voto

Non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: concetti di base acquisiti, risolve semplici esercizi; abilità comunicativa e capacità di collegamento appena sufficienti.

24-27: buona padronanza dei contenuti, risolve esercizi più complessi con pochi errori; buone abilità comunicative e di collegamento.

28-30 e lode: acquisizione completa dei contenuti, risolve gli esercizi in modo completo e senza errori; eccellenti capacità comunicative, di apprendimento e di collegamento.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata — Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento (https://www.cinap.unict.it/content/referenti).

•     Quesito teorico — Enunciare e dimostrare il Teorema di Bolzano-Weierstrass per successioni reali limitate.

•     Quesito teorico – Dare la definizione massimo assoluto di una funzione

•     Esercizio tecnico — Studiare il carattere della serie Σ (n≥1) [n / (n²+1)]^p al variare del parametro reale p, utilizzando il criterio del confronto asintotico.

•     Esercizio tecnico — Calcolare, se esiste, lim (x→0) [ (1 − cos x) / (x · sin x) ] utilizzando i limiti notevoli.