GEOMETRIA II
Anno accademico 2025/2026 - Docente: ELENA MARIA GUARDORisultati di apprendimento attesi
Obiettivo dell'insegnamento è completare le conoscenze di algebra lineare del corso di Geometria 1 presentando alcuni concetti fondamentali di questa teoria, nonché fornire una trattazione pressoché completa della geometria degli spazi affini e euclidei da un lato e quella degli spazi proiettivi dall'altro. Gli strumenti introdotti sono anche utilizzati per studiare la geometria delle ipersuperfici algebriche nei vari ambienti con particolare enfasi relativamente al caso degli enti quadratici in dimensione arbitraria e alle proprietà locali e globali delle curve algebriche piane.
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): -comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali nell'ambito dell'algebra lineare avanzata e della geometria nei vari ambiti considerati, sia da un punto di vista teorico (sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico, assimilazione di definizioni, teoremi e delle idee principali delle relative dimostrazioni) e sia da un punto di vista pratico (risoluzione di esercizi nelle prove scritte).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding) : dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute; - costruire dimostrazioni rigorose; -costruire semplici esempi. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto.
Autonomia di giudizio (making judgements) acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema di geometria; - essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci. Questi obiettivi offrono allo studente attività di esercitazione durante il corso e di supporto integrativo al corso di Geometria II; esse saranno per lo studente occasioni per sviluppare in modo autonomo le proprie capacità decisionali e di giudizio. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente del corso di laurea in Matematica verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni e durante il supporto.
Abilità comunicative (communication skills) : - saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni; - sapere presentare, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, i più importanti teoremi dell'algebra lineare e della geometria analitica; - essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia. Per il raggiungimento delle abilità comunicative saranno previste ampie modalità di verifica e di discussione di elaborati scritti. La prova finale inoltre offrirà allo studente un'ulteriore opportunità di approfondimento e di verifica delle capacità di analisi, elaborazione e comunicazione del lavoro svolto.
Capacità di apprendimento (learning skills): - aver sviluppato le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; - possedere abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi di laurea magistrale in Matematica; - avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche. La capacità di apprendimento sarà acquisita durante il corso di studio grazie alla suddivisione delle ore di lavoro complessive, che attribuisce un importante ed adeguato rilievo a quelle dedicate allo studio personale.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Geometria 2 - 12 CFU (94 ore totali)
Organizzazione didattica primo semestre 6 CFU - 47 ore
35 ore di lezione frontale
12 ore di esercitazione
Lezioni frontali e svolgimento di esercizi in classe. Alcune lezioni si svolgeranno esclusivamente alla lavagna, altre mediante appunti da dividere agli studenti. Ciò dipenderà dal tipo di argomento trattato.
Una parte del programma (max 3CFU) potrà essere svolta da un professore straniero e/o italiano esperto.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus
NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof.ssa Daniele.
Prerequisiti richiesti
Frequenza lezioni
La frequenza è fortemente consigliata (vedi regolamento Didattico CdS L35 Matematica)
Contenuti del corso
1) Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. Endomorfismi autoaggiunti, matrici normali e operatori normali, teorema spettrale per operatori normali.
2) Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie.
4)Cenni sul Teorema di Bezout (se il tempo lo permette)
“Contributo dell’insegnamento agli obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile”.
Goal 4 Istruzione di Qualità – Assicurare un’istruzione inclusiva, equa e di qualità, e promuovere opportunità di apprendimento permanente.
Goal 5 Uguaglianza di Genere – Raggiungere l’uguaglianza di genere e l’autonomia di tutte le donne e ragazze.
Goal 8 Lavoro Dignitoso e Crescita Economica – Promuovere una crescita economica sostenuta, inclusiva e sostenibile, piena occupazione e lavoro dignitoso per tutti.
Testi di riferimento
a) E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri, Torino
b) E. Sernesi: Geometria II, Bollati Boringhieri, Torino.
Materiale didattico prof. Russo: Appunti di tutti gli argomenti del corso sono disponibili al seguente link:
https://drive.google.com/file/d/1pCkZRyqSCyawPybrHTLgh3gN8IQD4hca/view
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | 1. Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato | a), note di corso |
| 2 | 1. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. | a), note di corso |
| 3 | Endomorfismi autoaggiunti, matrici diagonalizzabili, teorema spettrale. | a), note di corso |
| 4 | Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. | a), note di corso |
| 5 | Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie. | a), note di corso |
| 6 | Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi. | a), note di corso |
| 7 | cenni sul Teorema di Bezout (se il tempo permette) | note di corso |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Per partecipare all'esame finale è necessario avere effettuato la prenotazione sul portale SmartEdu. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica.
L'esame completo di Geometria 2 consiste in una prova scritta della durata di tre ore circa e di un colloquio orale e potrà essere sostenuto alla fine del corso.
Gli studenti che svolgono una prova scritta con voto inferiore a 15/30 non sono ammessi a sostenere la prova orale e dovranno ripetere la prova scritta.
E' prevista una verifica intermedia si terrà durante la pausa tra il primo ed il secondo semestre e le date coincidono con quelle degli appelli ordinari. La verifica intermedia consiste di una prova scritta e verte sui contenuti del corso relativi al primo semestre. Chi la supera con voto non inferiore a 15/30 può sostenere la prova orale negli appelli di Giugno/Luglio.
La verifica dell' apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazioni.
Di norma i voti verranno assegnati secondo il seguente schema:
- non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.
- 18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi
- 24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori
- 28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.
Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento o al Presidente del Corso di Studi.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Sul Team del Corso verranno caricati le prove scritte assegnate negli anni precedenti.
Le domande nel colloquio orale mirano ad accertare l' effettiva comprensione degli enunciati dei teoremi principali e delle loro applicazioni. Ad esempio:
1) prodotti scalari e loro proprietà
2) teorema spettrale
3) spazi affini
4) Spazi proiettivi