Il corso si propone di fornire agli studenti dei complementi di topologia generale, concentrandosi in particolare su spazi paracompatti e varietà topologiche e di introdurli alla topologia algebrica, con particolare attenzione a omotopia e gruppo fondamentale.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):  -comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali  nell'ambito della topologia, sia da un punto di vista teorico (sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico, assimilazione di definizioni, teoremi e delle idee principali delle relative dimostrazioni) e sia da un punto di vista pratico (risoluzione di problemi).

Autonomia di giudizio (making judgements) acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema di topologia; - essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci. Questi obiettivi offrono allo studente attività di esercitazione durante il corso e di supporto integrativo al corso di Geometria II; esse saranno per lo studente occasioni per sviluppare in modo autonomo le proprie capacità decisionali e di giudizio. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente del corso di laurea in Matematica verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni e durante il supporto.

Abilità comunicative (communication skills) : - saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni; - sapere presentare, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, i più importanti teoremi della topologia algebrica; - essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia. La prova finale inoltre offrirà allo studente un'ulteriore opportunità di approfondimento e di verifica delle capacità di analisi, elaborazione e comunicazione del lavoro svolto.

Capacità di apprendimento (learning skills):  - aver sviluppato le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; - possedere abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi di laurea magistrale in Matematica; - avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche. La capacità di apprendimento sarà acquisita durante il corso di studio grazie alla suddivisione delle ore di lavoro complessive, che attribuisce un importante ed adeguato rilievo a quelle dedicate allo studio personale.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding) : dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute;  - costruire dimostrazioni rigorose; -costruire semplici esempi. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente  verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Geometria 2 - 12 CFU (94 ore totali)

Organizzazione didattica secondo semestre 6 CFU - 47 ore

35 ore di lezione frontale
12 ore di esercitazione

Lezioni frontali e svolgimento di esercizi in classe. Il docente proporrà delle liste di esercizi durante il corso, provviste di suggerimenti adeguati alla preparazione degli studenti. E' fortemente consigliato che gli studenti lavorino a tali liste di esercizi, scrivendo in dettaglio le loro soluzioni. E' possibile anche lavorare in gruppo a tali liste di esercizi, a patto che ciascuno studente scriva indipendentemente la propria soluzione. Una parte del corso verrà dedicata alla discussione di tali esercizi, e gli studenti verranno invitati a presentare alla lavagna le proprie soluzioni.

Una parte del programma (max 3CFU) potrà essere svolta da un professore straniero e/o italiano esperto.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus

NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof.ssa Daniele.

1. Preliminari insiemistici: il teorema di Zermelo e la topologia dell'ordine sul primo ordinale non numerabile.
2. Fondamenti di spazi paracompatti. Partizioni dell'unità.
3. Prodotto di spazi paracompatti, la retta di Michael.
4. I teoremi di Michael e Stone.
5. Introduzione alle varietà topologiche.
6. Omotopia di funzioni continue e spazi topologici.
7. Cammini e omotopia di cammini.
8. Introduzione al gruppo fondamentale.
9. Cenni sui rivestimenti. Il gruppo fondamentale della circonferenza.
10. Applicazioni del gruppo fondamentale della circonferenza (il teorema del punto fisso di Brouwer e il teorema di Borsuk-Ulam in dimensione 2, il teorema fondamentale dell'algebra).
11. Il gruppo fondamentale della sfera.

• Appunti del docente.
• Marco Manetti, Topologia, editore Springer, 2014.

L'esame completo di Geometria 2 consiste in una prova scritta della durata di tre ore circa e di un colloquio orale e potrà essere sostenuto alla fine del corso.
Gli studenti che svolgono una prova scritta con voto inferiore a 15/30 non sono ammessi a sostenere la prova orale e dovranno ripetere la prova scritta.
E' prevista una verifica intermedia si terrà durante la pausa  tra il primo ed il secondo semestre e le date coincidono con quelle degli appelli ordinari. La verifica intermedia consiste di una prova scritta e verte sui contenuti del corso relativi al primo semestre. Chi la supera con voto non inferiore a 15/30 può sostenere la prova orale negli appelli di Giugno/Luglio.
La verifica dell' apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.  In tal caso la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazioni.
Di norma i voti verranno assegnati secondo il seguente schema:
- non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.
- 18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi
- 24-27:  lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone,  risolve gli esercizi con pochi errori
- 28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

Per partecipare all'esame finale è necessario avere effettuato la prenotazione sul portale SmartEdu. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento o al Presidente del Corso di Studi.

Le domande potranno riguardare l'intero programma del corso.