ANALISI MATEMATICA II

Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà aver acquisito le seguenti conoscenze, abilità e competenze.

1. Conoscenza e comprensione

Lo studente dovrà acquisire una solida conoscenza dei fondamenti del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali, della teoria delle equazioni differenziali ordinarie, degli spazi metrici e della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Lo studente dovrà essere in grado di applicare le tecniche e i risultati teorici appresi alla risoluzione di problemi ed esercizi, anche non standard, riguardanti gli argomenti del corso.

3. Autonomia di giudizio

Lo studente dovrà sviluppare la capacità di valutare autonomamente la correttezza e la coerenza logica dei ragionamenti matematici, individuando le ipotesi necessarie all'applicazione dei teoremi studiati.

4. Abilità comunicative

Lo studente dovrà essere in grado di esporre in modo chiaro, rigoroso e formalmente corretto i concetti, le dimostrazioni e i risultati appresi, sia in forma scritta sia in forma orale.

5. Capacità di apprendimento

Lo studente dovrà sviluppare l'autonomia necessaria per proseguire lo studio di argomenti più avanzati di Analisi Matematica e delle discipline che ne fanno uso.

Il corso è articolato in 15 CFU di cui 12 CFU (84 ore) dedicati alle lezioni frontali e 3 CFU (36 ore) dedicati alle esercitazioni.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali (Didattica Erogativa). Per ogni argomento il docente svolgerà un congruo numero di esercitazioni. Per sviluppare l'autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno esercitazioni guidate (Didattica Interattiva), in cui saranno proposti vari esercizi. Gli studenti potranno lavorare singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

L'insegnamento viene impartito mediante lezioni frontali alla lavagna. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto sopra dichiarato, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel presente syllabus.

È fondamentale la padronanza degli argomenti riguardanti limiti, derivate ed integrali di funzioni reali di una variabile reale, unitamente ai contenuti di Algebra Lineare e di Geometria.

N.B.: gli argomenti contrassegnati con un asterisco (*) devono essere considerati saperi minimi irrinunciabili.

1. Successioni e Serie di Funzioni

*Successioni di funzioni. *Serie di funzioni. *Convergenza puntuale, uniforme e totale. Teoremi di continuità, di integrazione per serie e di derivazione per serie (solo enunciati). *Serie di potenze nel campo reale. *Raggio di convergenza. Teoremi di D'Alembert e di Cauchy-Hadamard. *Raggio di convergenza della serie derivata. Teoremi di derivazione ed integrazione per serie di potenze (solo enunciati). *Serie di Taylor. *Criterio per la sviluppabilità in serie di Taylor. *Sviluppi in serie notevoli.

2. Funzioni reali di più variabili reali

Elementi di topologia in Rⁿ. Insiemi limitati. Aperti connessi. *Limiti e continuità. Teorema di Weierstrass. *Derivate parziali. Derivate successive. *Teorema di Schwarz (solo enunciato). *Gradiente. *Differenziabilità. *Differenziabilità e continuità. Teorema del differenziale. *Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte. *Funzioni a gradiente nullo in un connesso. *Estremi relativi. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per un estremo relativo. Funzioni implicite. Teorema di U. Dini. Curve piane e sghembe. Massimi e minimi vincolati. Metodi di esplicitazione del vincolo e dei moltiplicatori di Lagrange. Una condizione sufficiente per un estremo vincolato.

3. Integrali curvilinei e forme differenziali in Rⁿ

*Curve regolari. Vettore tangente e vettore normale di una curva regolare in un punto. *Rettificabilità. *Lunghezza di una curva regolare. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. *Forme differenziali. *Integrale curvilineo di una forma differenziale. *Forme differenziali esatte. *Teorema di integrazione delle forme differenziali esatte. *Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. *Potenziale di una forma differenziale. *Forme differenziali chiuse. *Forme differenziali in un aperto semplicemente connesso di Rⁿ.

4. Misura ed integrale di Lebesgue

Misura secondo Lebesgue dei rettangoli e dei pluri-rettangoli di Rⁿ. Misura degli insiemi aperti limitati non vuoti e degli insiemi sequenzialmente compatti. Nozione di misurabilità per gli insiemi limitati e per gli insiemi non necessariamente limitati. Proprietà: isotonia, finita additività, sottrattività, σ-additività, continuità verso l'alto e verso il basso, invarianza per traslazioni, completezza. Funzioni misurabili e relative proprietà. Successioni di funzioni misurabili. Funzioni semplici. Cenni sulla teoria dell'integrazione secondo Lebesgue in Rⁿ. Definizione di integrale per le funzioni misurabili e non negative in insiemi misurabili. Prime proprietà: monotonia, isotonia, omogeneità. Teorema di B. Levi. Lemma di Fatou. Ulteriori proprietà dell'integrale: additività rispetto alla funzione integranda, σ-additività rispetto all'insieme di integrazione, continuità verso l'alto e verso il basso, insiemi di misura zero. Funzioni sommabili. Proprietà. Teorema di Lebesgue. Confronti fra l'integrale di Lebesgue e l'integrale elementare.

5. Calcolo integrale per funzioni di più variabili

Misura e integrazione negli spazi prodotto. Formule di riduzione per gli integrali multipli. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Teoremi sui cambiamenti di variabili negli integrali multipli. Coordinate polari nel piano e nello spazio, coordinate cilindriche.

6. Superfici. Integrali di superficie. La formula di Stokes e il teorema della divergenza

Superfici regolari in Rⁿ. Piano tangente e vettore normale. *Teorema di Gauss-Green. *Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Area di una superficie, integrali superficiali, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie, forme differenziali quadratiche.

7. Teoria delle equazioni differenziali ordinarie

Definizioni e terminologia. Teorema di Peano. *Teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy relativo a un'equazione differenziale del primo ordine in forma normale. Teorema di esistenza e unicità globale, soluzioni massimali. *Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, di tipo omogeneo, lineari, di Bernoulli, esatte e di Clairaut. *Equazioni differenziali lineari: struttura dell'insieme delle soluzioni, metodo della variazione delle costanti arbitrarie. *Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazioni di Eulero. *Sistemi di equazioni differenziali lineari. *Matrice esponenziale.

8. Spazi metrici

Spazi metrici. Intorni. Punti interni, di frontiera e di accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi aperti, chiusi e limitati. Diametro di un insieme. Convergenza. Completezza. Funzioni lipschitziane e Teorema delle contrazioni. Sequenziale compattezza. Chiusura e sua caratterizzazione mediante le successioni. Teorema di Cantor. Spazio euclideo Rⁿ. Disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e di Minkowski. Teoremi di Heine-Borel e di Bolzano-Weierstrass. Insiemi convessi, connessi e connessi per spezzate.

9. Elementi di Calcolo delle Variazioni ed Equazioni differenziali alle derivate parziali

Il problema della brachistocrona. Funzionali. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni necessarie per un estremo. Esempi ed applicazioni. Cenni alle equazioni differenziali alle derivate parziali del primo e del secondo ordine.

1.              N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore.

2.              M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli.

3.              G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica Due, seconda edizione, Ed. Monduzzi.

4.              P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Matematica vol. 2, Liguori Editore.

5.              M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2.

6.                         M.Giaquinta - G. Modica Mathematical Analysis: An Introduction to Functions of several variables Birkhäuser 

7.                         W. Rudin - Principles of Mathematical Analysis 3 ed Mc Graw Hill

1.              L'esame finale consiste in un elaborato scritto suddiviso in due sezioni — sezione A (quesiti pratici e teorici relativi al programma svolto nel primo periodo didattico) e sezione B (quesiti pratici relativi al programma svolto nel secondo periodo didattico) — e in una prova orale sulla parte di programma trattata nel secondo periodo didattico.

2.              Al termine del primo periodo didattico è prevista una prova in itinere scritta con quesiti teorici e pratici sugli argomenti del programma svolti in tale periodo.

3.              Il superamento della prova in itinere, con una votazione minima di 18/30, esonera lo studente dallo svolgere i quesiti della sezione A nell'esame finale.

4.              I benefici del superamento della prova in itinere restano validi fino al termine della terza sessione di esami del corrente Anno Accademico.

5.              Gli studenti che non hanno sostenuto o non hanno superato la prova in itinere dovranno svolgere l'intero elaborato scritto (sezioni A e B) nell'esame finale. La prova scritta si ritiene superata se in ciascuna delle due sezioni si è raggiunta la votazione minima di 18/30.

NOTA BENE: la valutazione finale terrà conto della correttezza, del rigore e della chiarezza espositiva, sia nella prova scritta sia nella prova orale.

●      30 e lode / 30: prova eccellente, piena padronanza degli argomenti, capacità di collegamento e rigore espositivo completo.

●      26-29: prova buona/ottima, con qualche lieve imprecisione.

●      21-25: prova discreta, con alcune lacune non gravi.

●      18-20: prova sufficiente, con conoscenza degli argomenti essenziali.

●      Non approvato: prova insufficiente, lacune gravi e/o diffuse.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata — Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento (https://www.cinap.unict.it/content/referenti).

●      Forme differenziali.

●      Relazione tra derivabilità e differenziabilità per una funzione di due o più variabili reali.

●      Estremi condizionati di una funzione.

●      Teorema di Gauss-Green.

●      Misura di Lebesgue.