ALGEBRA

Lo scopo del corso è quello di far acquisire agli allievi la capacità di formalizzare un problema e di sondare l’ambiente in cui cercare le eventuali soluzioni. Il corso si prefigge anche lo scopo di sollecitare la capacità di astrazione e fornire gli strumenti per utilizzare tale astrazione per passare dal particolare al generale.

In particolare, il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali dell'algebra; sviluppare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): dimostrare risultati algebrici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi; costruire dimostrazioni rigorose; risolvere problemi di algebra che richiedono un pensiero originale; essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, formulati nel linguaggio naturale, e di trarre profitto da questa formulazione per chiarirli o risolverli;

Autonomia di giudizio (making judgements): acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema algebrico; essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative (communication skills): saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni, nonché le conoscenze e la ratio ad esse sottese; sapere presentare materiali e argomentazioni scientifiche, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile.

Capacità di apprendimento (learning skills): aver sviluppato un maggior grado di autonomia nello studio.

Il corso consiste di lezioni frontali, esercitazioni frontali (alla lavagna) ed esercitazioni di classe. Normalmente gli esercizi svolti dal docente si alternano allla parte teorica, anche nella stessa giornata. Per le esercitazioni di classe, il docente propone alcuni esercizi agli studenti che sono invitati a risolverli lavorando in piccoli gruppi; il docente passa tra i banchi aiutando e suggerendo il modo di affrontare gli esercizi. Tali esercitazioni sono fondamentali per acquisire capacità di lavoro autonomo e in gruppo.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Conoscenze elementari di matematica presenti in tutti i programmi delle scuole superiori.

Fortemente consigliata. La frequenza alle lezione ed alle esercitazioni consente allo studente di integrare la teoria esposta sui testi di riferimento e di imparare a impostare correttamente in modo autonomo gli esercizi.

Prima parte (circa un terzo del corso)

a) Teoria degli insiemi.

Insiemi e operazioni tra insiemi. Funzioni o applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di applicazioni. Relazioni. Relazioni di equivalenza ed insiemi quozienti. Relazioni d'ordine. Massimi e minimi, elementi minimali e massimali, maggioranti e minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore.

b) I numeri.

I numeri naturali. Il principio di induzione.

Cardinalità di insiemi. Insiemi numerabili. |A| < |P(A)|=|2^A|. Potenza del continuo. Lemma di Zorn e assioma della scelta (cenni).

I numeri interi. Massimo comune divisore e l'algoritmo euclideo. Identità di Bézout. Fattorizzazione in Z e alcune conseguenze. I numeri razionali. La struttura di campo ordinato di Q.

Congruenze e le classi di resto: prime proprietà e applicazioni. Criteri di divisibilità. Risoluzione di congruenze lineari. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero-Fermat.

Cenno sui numeri reali come campo ordinato. I numeri complessi. Forme algebriche e trigonometriche dei numeri complessi. Radici dei numeri complessi. Le radici complesse dell'unità. Il Teorema fondamentale dell'Algebra (senza dim.).

Seconda parte: teoria delle strutture algebriche.

a) Teoria degli anelli (circa un terzo del corso)

Prime definizioni ed esempi. Domini d’integrità, corpi e campi. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anelli quozienti. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Sottoanelli ed ideali rispetto ad un omomorfismo. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi ed ideali massimali. Immersione di un dominio in un campo. Il campo dei quozienti di un dominio di integrità. Anelli di polinomi a coefficienti in un anello. Funzioni polinomiali e polinomi. Teorema di Ruffini.

Divisibilità in un anello. Elementi primi ed irriducibili. Domini euclidei. Domini ad ideali principali. Domini a fattorizzazione unica e loro caratterizzazione. Confronto tra gli anelli studiati e loro applicazioni. Divisione tra polinomi su un campo: l'algoritmo di divisione. Identità di Bézout. MCD e mcm. Lemma di Gauss e Teorema di Gauss per A[x], con A UFD. Criteri di irriducibilità in A[x]. Il criterio di Eisenstein. Irriducibilità nel passaggio ai quozienti.

b) Teoria dei gruppi (circa un terzo del corso)

Prime definizioni ed esempi. Sottogruppi. Gruppi ciclici. Il gruppo simmetrico e il gruppo alterno. I gruppi diedrali. Classi laterali e Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Omomorfismi tra gruppi. Relazioni tra sottogruppi in un omomorfismo. I teoremi dell'omomorfismo e dell'isomorfismo. Il Teorema di Cayley. L'azione di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Relazione di coniugio ed equazione di classe. Classi coniugate nel gruppo simmetrico. Il Teorema di Cauchy ed i Teoremi di Sylow. Somma diretta di gruppi. Teorema sulla classificazione dei gruppi abeliani finiti.

​1. G. Piacentini Cattaneo - Algebra - Zanichelli.

2. A. Ragusa - Corso di Algebra (Un approccio amichevole) - Aracne Ed.

3. M. Fontana - S. Gabelli - Insiemi numeri e polinomi - CISU

L'esame finale consisterà di una prova scritta ed una orale, ma si terrà anche conto di quanto fatto dallo studente durente l'anno:

- nel corso dell'anno si svolgeranno alcune esercitazioni, in cui si proporranno agli studenti dei problemi da risolvere singolarmente o a piccoli gruppi e durante le quali il docente verificherà il progressivo svolgimento della prova, suggerendo idee e correggendo eventuali errori. Si potranno anche proporre dei test sulla teoria studiata.

- si svolgeranno poi due prove, una in itinere ed una a fine corso (in concomitanza con gli appelli) che, se superate, daranno allo studente l'esonero dalla prova scritta d'esame.

Il voto terrà conto della prova scritta (o delle prove in itinere) e di quella orale; le prove scritte si considerano superate se si ottiene una valutazione non inferiore a 15/30. Il voto finale non consiste di una media tra i voti delle prove, ma l’orale determina un incremento al voto dello scritto. Il voto potrà anche tenere conto di eventuali riscontri positivi nelle verifiche svolte durante l’anno.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Gli esercizi di algebra non sono standard, ovvero non rientrano in precise tipologie. Durante l'anno, su Studium, saranno resi disponibili esercizi sui vari argomenti del corso.

La stuttura tipica di una domanda teorica è la seguente: si richiede di parlare di un argomento del programma, enunciando correttamente le definizioni ed i teoremi principali connessi a tale argomento; successivamente si richiederà di dimostrare uno di questi risultati e di applicarlo a qualche esempio.