GEOMETRIA I

L'obiettivo fondamentale del corso di Geometria I è quello di fornire alcuni strumenti di Algebra Lineare per il calcolo di autovettori ed autovalori di un endomorfismo tra spazi vettoriali, quali ad esempio, le proprietà delle matrici. Si forniscono alcune nozioni di Geometria nel piano e nello spazio, ed alcuni strumenti per lo studi di coniche del piano e quadriche dello spazio. In particolare, alla fine del corso, gli studento dovranno aver acquisito:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): -comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali nell'ambito dell'algebra, della geometria analitica, dell'algebra lineare, della geometria delle curve; dimostrare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; - risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti dagli studenti.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding) : dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute; - costruire dimostrazioni rigorose; -costruire semplici esempi. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto.

Autonomia di giudizio (making judgements) acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema di geometria; - essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci. Questi obiettivi offrono allo studente attività di esercitazione durante il corso e di supporto integrativo al corso di Geometria I; esse saranno per lo studente occasioni per sviluppare in modo autonomo le proprie capacità decisionali e di giudizio. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente del corso di laurea in Matematica verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni e durante il supporto.

Abilità comunicative (communication skills) : - saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni; - sapere presentare, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, i più importanti teoremi dell'algebra lineare e della geometria analitica; - essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia. Per il raggiungimento delle abilità comunicative saranno previste ampie modalità di verifica e di discussione di elaborati scritti. La prova finale inoltre offrirà allo studente un'ulteriore opportunità di approfondimento e di verifica delle capacità di analisi, elaborazione e comunicazione del lavoro svolto.

Capacità di apprendimento (learning skills): - aver sviluppato le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; - possedere abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi di laurea magistrale in Matematica; - avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche. La capacità di apprendimento sarà acquisita durante il corso di studio grazie alla suddivisione delle ore di lavoro complessive, che attribuisce un importante ed adeguato rilievo a quelle dedicate allo studio personale.

Lezioni frontali e svolgimento di esercizi in classe. Alcune lezioni si svolgeranno esclusivamente alla lavagna, altre mediante appunti da dividere agli studenti. Ciò dipenderà dal tipo di argomento trattato.

In collaborazione con i docenti di Algebra e di Analisi Matematica, verranno svolti degli incontri periodici durante i quali gli studenti saranno guidati a riflettere sui collegamenti fra le tre discipline, in modo da apprezzare l'unitarietà e la multidisciplinarietà del Sapere matematico.

Una parte del programma (max 3CFU) potrà essere svolta da un professore straniero e/o italiano esperto.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus

I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. Per gli studenti con obblighi formativi aggiuntivi sono previsti dei corsi di recupero.

Propedeuticità: nessuna

Frequenza: fortemente consigliata

ALGEBRA LINEARE (I semestre, parte su cui si svolgerà la prima prova in itinere):

1. Operazioni su un insieme.
2. Matrici ad elementi in un campo e loro proprietà.
3. Spazi vettoriali e loro proprietà .
4. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari.
5. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari.
6. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.
7. Prodotto scalare in uno spazio reale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi di uno spazio euclideo e loro complemento ortogonale. Matrici ortogonali.

GEOMETRIA ANALITICA (II semestre, parte su cui si svolgerà la seconda prova in itinere)

1. I vettori geometrici dello spazio ordinario.
2. Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Rette reali del piano e loro equazioni. Ortogonalità e parallelismo. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Distanze.
3. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Classificazione delle coniche irriducibili. Polarità. Fasci di coniche.
4. Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Sezioni delle quadriche con piani tangenti. Equazioni ridotte. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Sfere. Sezioni piane di una quadrica.
5. Cenni sugli spazi affini*

1. S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (Linear Algebra).
2. C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati-Boringhieri, 1994 (Linear Algebra)
3. G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (Geometria) available at www.giuseppepaxia.com
4. E. Sernesi, Geometria 1,Bollati- Boringhieri, II edition, 1989 (Geometry)

a) Verifica durante il corso: Periodicamente, durante le esercitazioni gli studenti potranno essere invitati a partecipare risolvendo alla lavagna degli esercizi proposti dal docente o dagli studenti stessi. Questo risulta utile per monitorare il livello di apprendimento degli studenti. Durante le lezioni, inoltre, gli studenti saranno invitati a citare definizioni e risultati trattati nelle lezioni precedenti, per favorire un apprendimento consapevole della disciplina. Durante le ore di attività integrative saranno svolte delle esercitazioni utili all’autovalutazione.

b) Prove in itinere. Sono previste due prove in itinere della durata di circa due ore e mezza. Entrambe le prove consistono in una prova scritta e si intendono superate con una votazione non inferiore ai 15/30 su almeno tre degli esercizi proposti. Ciascuna prova ha un valore pari a circa 1/3 dei CFU totali della materia (ovvero circa 4 crediti ciascuna). Essi verranno acquisiti solo e soltanto dopo aver superato entrambe le prove in itinere ed una prova orale. (vedi esame finale)

La prima prova in itinere si svolgerà durante il primo periodo di pausa delle lezioni. Essa verterà su circa metà del programma.

La seconda prova in itinere si svolgerà alla fine del corso e verterà sulla seconda parte del programma (complementare alla prima parte). Generalmente, le date della prima e della seconda prova coincidono con quelle degli appelli previsti nella sessione di febbraio e giugno, ripettivamente, secondo il calendario delle prove scritte.

Le prove in itinere (superate entrambe con un voto non inferiore ai 15/30) hanno durata fino alla scadenza della sessione autunnale, ovvero l’esame orale deve essere sostenuto entro e non oltre le date d’esame previste dalla fine del corso fino alla sessione autunnale.

Chi non supera una delle due prove in itinere, dovrà sostenere l'esame finale (punto a)).

Il superamento di entrambe le prove in itinere darà accesso alla prova orale.

N.B.:Lo studente acquisirà i CFU totali solo dopo aver superato entrambe le prove in itinere scritte e la prova orale.

c) esame finale: l'esame finale consiste in una prova scritta ed una orale alla fine del corso annuale e secondo il calendario degli esami. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi, tecnici e dimostrativi. La prova orale verte su tutti gli argomenti del programma svolto. Il docente avrà cura di pubblicizzato appena finito il corso e, comunque, prima dell'inizio della prima sessione d'esami.

La prova scritta avrà una durata di circa due ore e mezza e può essere sostituita da due prove in itinere, entrambe della durata di due ore e mezza circa,
la prima delle quali si svolgerà a metà corso durante la prima pausa delle lezioni e la seconda immediatamente a fine corso.

Nel caso in cui lo studente non superi una delle due prove in itinere, dovrà sostenere l'esame finale.

La prova scritta è fissata secondo il calendario. La prova orale potrebbe anche non essere sostenuta nella data del calendario.

Per il superamento della prova scritta dell'esame finale lo studente dovrà svolgere almeno due quesiti di Algebra Lineare ed uno di Geometria (o viceversa). La votazione della prova scritta consigliata per sostenere la prova orale è non inferiore a 15/30.

d) criteri per l’attribuzione del voto: sia per le prove in itinere che per l'esame finale, si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Si terrà in ogni caso conto, soprattutto nei primi appelli, del fatto che lo studente frequenta ancora il primo anno e difficilmente avrà acquisito la maturità che potrà essere invece richiesta negli anni successivi. Non è prevista la media tra il voto dello scritto e dell'orale

NOTA BENE La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Esercizi assegnati ed esercizi svolti su http://www.dmi.unict.it/guardo

oppure su http://studium.unict.it

Domande frequenti esercizi/esami

1) Definizione di spazio vettoriale. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Esempi. Teorema sulle dimensioni di Nucleo ed Immagine di un’applicazione lineare. Teorema dell'omomorfismo e collegamento con l'insegnamento di Algebra. Controimmagine di un vettore. Teorema di Cramer e Rouchè-Capelli. Vettori linearmente indipendenti, Criterio di indipendenza lineare. Basi. Esempi. Criterio di indipendenza degli autospazi, molteplicità algebrica e geometrica, endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice. Prodotti scalari reali e/o complessi. Matrice associate ad un prodotto scalare.

2) Rette nel piano. Rette e piani nello spazio. Classificazione coniche. Parabole, Iperboli, iperboli equilatere, ellissi, circonferenze. Rette tangenti in un punto ad una conica. Polarità. Classificazione quadriche. Iperboloidi, paraboloidi, ellissoidi, sfere. Piani tangenti in un punto ad una quadrica. Punti iperbolici, parabolici ed ellittici .Vertici. Coni e cilindri. Sezioni piane di quadriche. Superfici di rotazioni. Esempi senza uso degli invarianti ortogonali.