GEOMETRIA II
Anno accademico 2018/2019 - 2° annoCrediti: 12
Organizzazione didattica: 300 ore d'impegno totale, 206 di studio individuale, 70 di lezione frontale, 24 di esercitazione
Semestre: Insegnamento annuale
Obiettivi formativi
L'obiettivo del corso è di consentire agli studenti di impadronirsi di teorie e tecniche relative all' Algebra Lineare avanzata, alla geometria degli spazi affini e degli spazi proiettivi, alle ipersuperficie affini e proiettive, ai rudimenti della teoria delle curve e superficie differenziabili (quest' ultimo punto se il tempo lo consentirà).
Gli studenti saranno in grado di applicare queste teorie e queste tecniche sia a problemi astratti che a problemi concreti.
Al termine del corso gli studenti saranno in grado di comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali dell' Algebra Lineare
(Teorema Spettrale, Teorema di Sylvester, proodotti scalari euclidei e hermitiani), della teoria degli spazi lineari affini e proiettivi nello
spirito del Programma di Erlangen di F. Klein e della teoria delle ipersuperfici algebriche affini e proiettive (proprietà locali e globali,
studio esplicito di curve nel piano e superfici dello spazio).
La preparazione rigorosa alla prova scritta consentirà allo studente di verificare in esempli espliciti i potenti strumenti teorici appresi.
L' esame orale necessiterà di una esposizione chiara e precisa dei contenuti teorici sviluppati durante il corso,
verificando la maturazione dell' apprendimento dello studente e preparandolo ai corsi più avanzati e specializzati dell' anno successivo.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
L' insegnamento consiste di lezioni frontali teoriche tenute dal docente e di esercitazioni pratiche e esempi dettagliati,
tenute dal docente e da docenti tutor in complemento al corso.
Le esercitazioni pratiche prevedono una partecipazione cooperativa da parte degli studenti tramite lo svolgimento
di semplici calcoli e deduzioni immediate per verificare il grado di comprensione degli argomenti trattati e quanto stiano
studiando gli argomenti teorici appresi tramite esempi concreti, assicurando di pari grado l' assimilazione dei contenuti del
corso e la capacità di risolvere problemi concreti anche in vista del superamento della prova scritta e della prova orale.
Prerequisiti richiesti
Geometria I.
(Fortemente consigliato ma non obbligatorio: Algebra)
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Il programma dettagliato del corso e' reperibile nella pagina web del corso. Succintamente elenchiamo i principali contenuti del programma:
Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. Endomorfismi autoaggiunti, matrici normali e operatori, teorema spettrale per operatori normali.
Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie. Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi proiettivi, proiettività. Punti uniti in una proiettività.
Generalità algebriche sui polinomi (omogenei). Ipersuperficie affini e proiettive, connessioni tra le due teorie. Intersezione con una retta, punti semplici e punti multipli. Rette tangenti in un punto, cono tangente e sua equazioni. Teorema di Bezout e applicazioni. Flessi e curva hessiana. Polarità e suo significato geometrico. Struttura di gruppo sui punti di una cubica piana, applicazioni geometriche.
Cenni della teoria delle curve e delle superficie differenziabili (solo se esisterà tempo disponibile).
Testi di riferimento
a) E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri, Torino
b) E. Sernesi: Geometria II, Bollati Boringhieri, Torino.
c) C. Ciliberto: Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, Torino
Materiale didattico: Appunti di alcuni argomenti relativi alla teoria delle ipersuperfici algebriche sono disponibili sulla pagina internet del corso: http://www.dmi.unict.it/~frusso/DMI/Geometria II.html
Inoltre nella pagina internet si trovano vari esercizi e compiti, alcuni con svolgimento completo, assegnati negli anni precedenti.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | 1. Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato | a) e c) |
| 2 | 1. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. | a) e c) |
| 3 | 1. Endomorfismi autoaggiunti, matrici diagonalizzabili, teorema spettrale. | a) e c) |
| 4 | 2. Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. | a) |
| 5 | 2. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie. | a) |
| 6 | 2. Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi. | a) |
| 7 | 2. Isomorfismo di spazi proiettivi, proiettività. Punti uniti in una proiettività | a) |
| 8 | 3. Ipersuperficie affini e proiettive, connessioni. Intersezione con una retta, punti semplici e punti multipli. Rette tangenti in un punto, cono tangente, spazio tangente e loro equazioni. | Note di corso |
| 9 | 3. Teorema di Bezout e applicazioni. Flessi e curva hessiana. Polarità e suo significato geometrico. Struttura di gruppo sui punti di una cubica piana, applicazioni geometriche. | Note di corso |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta ed un colloquio orale.
Gli studenti che svolgono una prova scritta gravemente insufficiente sono invitati a non sostenere la prova orale e a ripetere la prova scritta.
L'esame orale è volto ad accertare la preparazione degli studenti, la loro capacità espositiva ed il grado di elaborazione raggiunto.
La valutazione dello scritto influisce decisamente sul voto finale dell'esame.
La prima prova in itinere si terrà durante la pausa tra i semestri. Consiste di una prova scritta ed una prova orale sui contenuti del corso relativi al primo semestre e può quindi considerarsi equivalente a 6CFU.
La seconda prova in itinere si terrà a fine corso, di norma in concomitanza con il primo appello utile di giugno. Consiste di una prova scritta ed una prova orale, verterà sui contenuti del corso relativamente al secondo semestre e può quindi considerarsi equivalente a 6CFU.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Sul sito web del docente esiste una pagina dedicata al corso dove e' possibile visualizzare le prove scritte assegnate negli anni precedenti.
Le domande nel colloquio orale mirano ad accertare l' effettiva comprensione degli enunciati dei teoremi principali e delle loro applicazioni piuttosto che sulla verifica di una nozionistica conoscenza delle dimostrazioni e verranno formulate su alcuni degli argomenti del Programma mantenendo un equilibrio tra i contenuti di Algebra Lineare avanzata e quelli di Geometria.