COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

Il corso si propone come obiettivo principale di fornire agli studenti gli elementi di base sulla Teoria degli Spazi di Lebesgue, su questioni di teoria degli spazi lineari topologici e su cenni di esistenza e di regolarità di minimi di funzionali.

Il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:

1) Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Cooscenza di risultati e di metodi fondamentali dell'Analisi Reale. Capacità di leggere, comprendere e approfondire un argomento della letteratura matematica e riproporlo in modo chiaro ed accurato. Capacità di comprendere i problemi e di estrarne gli elementi sostanziali.

2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Capacità di costruire o risolvere esempi od esercizi e di affrontare problemi teorici nuovi, ricercando le tecniche più adatte e applicandole opportunamente.

3) Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito delgli Spazi di Lebergue. Essere in grado di formulare autonomamente giudizi pertinenti sull'applicabilità di teoremi relativi a spazi lineari topologici.

4) Abilità comunicative (communication skills): Capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti, nonché degli strumenti computazionali adottati.

5) Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento della letteratura nell'ambito delle trasformazioni lineari e delle trasformazioni continue. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico di argomenti di Spazi di Lebesgue non precedentemente approfonditi.

Per partecipare all'esame finale è necessario avere effettuato la prenotazione sul portale SmartEdu. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica.

Lezioni frontali.

Le lezioni sono integrate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Si precisa altresì che sono previste 35 ore di lezioni (tipicamente, si tratta di teoria) e 12 ore di altre attività (tipicamente, si tratta di esercitazioni).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus. Gli studenti con disabilità e/o DSA dovranno contattare con sufficiente anticipo rispetto alla data dell'esame il docente, il referente CInAP del DMI e il CInAP per comunicare che intendono sostenere l'esame fruendo delle opportune misure compensative (che saranno indicate dal CInAP).

Per potere seguire consapevolmente il corso è necessario conoscere i contenuti dei classici corsi di Analisi matematica I e II. Per potere sostenere l'esame è obbligatorio aver già superato l'esame di Analisi Matematica II (cfr. Regolamento del Corso di Studi).

La frequenza è fortemente consigliata, (si veda il  regolamento del CDS).

Spazi Lp. Spazi L1 e Spazi L\infty. Spazi Lp, 1<p<\infty. Compattezza di Lp.

Teoria degli spazi lineari topologici. Trasformazioni lineari. Spazi topologici. Topologia indotta da una metrica. Trasformazioni continue. Spazio lineare topologico localmente convesso e separato. Seminorme. Topologia indotta da una famiglia separata di seminorme. Spazi lineari topologici. Trasformazioni lineari e continue e spazi lineari topologici. Esempi di spazi lineari topologici: spazi di Hilbert e spazi di Banach.

Spazi di Morrey. Definizione di spazi di Morrey e loro relazione con gli spazi di Lebesgue. Cenni di regolarità di minimi di funzionali e spazi di Morrey. Applicazioni a Problemi al contorno. Metodi diretti.

[1] H. Cartan, Differential calculus on normed spaces: a course in Analysis, 2017.

[2] E. Giusti, Direct Methods in the Calculus of Variations, World Scientific, 2005.

[3] G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt, One-dimensional Variational Problems. An Introduction, Oxford University Press, 1998.

Al termine delle lezioni è prevista una prova orale finale.

Per partecipare all'esame finale è necessario avere effettuato la prenotazione sul portale SmartEdu. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica. 

Spazi di Lebesgue.  Compattezza negli spazi di Lebesgue. Minimi di funzionali. Regolarità di minimi di funzionali. Spazi di Morrey. Relazione tra spazi di Morrey e Spazi di Lebesgue..